Какой логарифм равен 3. Логарифм. Свойства логарифма (сложение и вычитание)

Содержание
  1. Что такое логарифм простыми словами
  2. Что такое логарифм и как его посчитать
  3. Логарифмы со специальным обозначением
  4. Десятичный логарифм
  5. Натуральный логарифм
  6. Основные свойства логарифмов
  7. Логарифмический ноль и логарифмическая единица
  8. Основное логарифмическое тождество
  9. Сумма логарифмов. Разница логарифмов
  10. Вынесение показателя степени из логарифма
  11. Переход к новому основанию
  12. 10 примеров логарифмов с решением
  13. Урок 8: Логарифмы
  14. Понятие логарифма
  15. Ограничения, связанные с логарифмом
  16. Основные свойства логарифмов
  17. Функция логарифма
  18. Логарифмы и логарифмические уравнения
  19. Логарифм — что это
  20. Логарифмическая функция и ее график
  21. Свойства логарифмов
  22. История логарифмов
  23. Вычисления Непера и Бригса
  24. Где используются логарифмы
  25. Решение логарифмических уравнений
  26. Задание 1
  27. Задание 2
  28. Задание 3
  29. Задание 4
  30. Задание 5
  31. Задание 6
  32. Задание 7
  33. Задание 8
  34. Формулы логарифмов: примеры решения перехода к новому основанию натурального логарифма и таблица или шпаргалка для этого в 10 классе
  35. Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения
  36. Примеры решения логарифмов на основании формул
  37. Логарифм: что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства
  38. Логарифмы: правила, основные свойства и формулы :
  39. Логарифмы
  40. Основное логарифмическое тождество

Что такое логарифм простыми словами

Какой логарифм равен 3. Логарифм. Свойства логарифма (сложение и вычитание)

Многие школьники считают логарифмы сложной темой в курсе математики. Но если разобрать, что такое логарифм подробно, от простого к сложному, то на ЕГЭ вы не станете их опасаться.

Часто у учеников возникает путаница, где аргумент, а где основание логарифма. И что же нужно возвести в степень, чтобы этот логарифм, наконец, посчитать.

В этой статье мы откроем секрет, как легче запомнить принцип решения логарифма.

Итак, давайте разбираться, что такое логарифм.

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

где a – это основание логарифма,

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.и преобразовываем вЗапомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Приведем пример:

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.

Еще примеры:

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.

Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.

Например, вычислим lg100

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть

Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…

Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что

И вычислить его можно таким образом:

Основные свойства логарифмов

Логарифмы можно преобразовывать, но для этого необходимо знать правила, которые называются основными свойствами логарифмов. Данные свойства обязательно нужно знать каждому ученику! Без знания этих свойств невозможно решить ни одну серьезную логарифмическую задачу. Вот эти свойства:

Совет – тренируйтесь применять эти свойства в обе стороны, то есть как слева направо, так и справа налево!

Рассмотрим свойства логарифмов на примерах.

Логарифмический ноль и логарифмическая единица

Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти  простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.

Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:

loga a = 1 – это логарифмическая единица.

Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a0 = 1:

loga 1 = 0 – логарифмический ноль.

Основное логарифмическое тождество

В первой формуле число m становится степенью, которая стоит в аргументе. Данное число может быть любым. Некоторые выражения могут быть решены только с помощью этого тождества.

Вторая формула по сути является просто переформулированным определением логарифма

Разберем применение тождества на примере:

Необходимо найти значение выраженияСначала преобразуем логарифм

Вернемся к исходному выражению и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:Теперь применим основное логарифмическое  тождество и получим:

Сумма логарифмов. Разница логарифмов

Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать:Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать:Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!

Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!

Вынесение показателя степени из логарифма

Вынесение показателя степени из логарифма:

Переход к новому основанию

Когда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию.

Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Разберем на примере.

Необходимо найти значение такого выраженияДля начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:

Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма:Подставим полученные результаты в исходное выражение:

10 примеров логарифмов с решением

1. Найти значение выражения2. Найти значение выражения3. Найти значение выражения4. Найти значение выражения5. Найти значение выражения6. Найти значение выраженияСначала найдем значениеДля этого приравняем его к Х:Тогда изначальное выражение принимает вид:

7. Найти значение выраженияПреобразуем наше выражение:Теперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: 8.

Найти значение выраженияТак как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:9. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя.

Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:Подставляем полученные значения в исходное выражение:

4 + 3 = 7

10. Найти значение выраженияОбращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216. Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4:

Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм.

Источник: https://yourrepetitor.ru/chto-takoe-logarifm-kak-poschitat-logarifm-svojstva-logarifmov-primery-resheniya-logarifmov/

Урок 8: Логарифмы

Какой логарифм равен 3. Логарифм. Свойства логарифма (сложение и вычитание)

План урока:

Понятие логарифма

Ограничения, связанные с логарифмом

Основные свойства логарифмов

Функция логарифма

Три основных вида логарифмов

Преобразования логарифмических выражений

Переход к новому основанию алгоритма

Использование логарифма для вычислений

Логарифмическая функция в природе и науке

Понятие логарифма

Великий ученый Пьер-Симон Лаплас говорил, что изобретение логарифмов продлило жизнь астрономов вдвое, ведь с их помощью астрономические расчеты, которые ранее занимали несколько месяцев, стало возможно выполнять за считанные дни. Что же представляют собой логарифмы и как они так сильно упрощают вычисления? Для ответа на этот вопрос сначала следует вспомнить показательные уравнения.

Рассмотрим простейшее показательное уравнение 2х = 4. Так как 22 =4, то, очевидно, оно имеет единственный корень, равный 2. Найти его можно не только аналитически, но и графически:

Далее посмотрим на уравнение 2х = 8. Так как восьмерка – это двойка в кубе (23 = 8), то единственным корнем ур-ния будет число 3. Также проиллюстрируем это с помощью графика:

Однако если мы попытаемся решить уравнение 2х = 6, то мы столкнемся с проблемами. Представить шестерку как какую-то степень двойки не получается. Графический метод показывает, что у этого ур-ния есть единственный корень, который лежит между числами 2 и 3, но точно определить его значение не получается:

Можно доказать (мы не будем этого делать), что искомый нами корень невозможно выразить с помощью дробей и даже корней n-ой степени. Поэтому возникает необходимость ввести какое-то новое обозначение, чтобы записывать корни таких уравнений. Математики придумали для такого числа обозначение log2 6, которое читается как «логарифм шести по основанию два».

Рассмотрим теперь более общий случай. Пусть есть некоторое ур-ние

Если число b положительно, то уравнение имеет корень, и при том единственный. Для его обозначения используется запись logab. Покажем, как графически показать значение величины logab. Для этого надо построить показательную функцию у = ах и горизонтальную линию у = b. Они пересекутся в единственной точке (если b положительно). Абсцисса (координата х) этой точки и будет равна logab:

Дадим строгое определение логарифма:

Задание. Какое число является решением показательного уравнения

Задача. Слиток радиоактивного изотопа, чей период полураспада (его обозначают буквой Т) составляет 10 минут, имеет начальную массу (m0), равную 1 кг. Через сколько минут его вес уменьшится до 300 грамм (0,3 кг)? Масса радиоактивного изотопа изменяется по закону

m(t) = m0•2–t/T

Решение. Подставим исходные данные в формулу, и получим уравнение с неизвестной величиной t:

0,2 = 1•2–t/10

0,3 = 2–t/10

Получили простейшее показательное уравнение, однако его левую часть (число 0,3) нельзя представить как степень двойки. Однако с помощью определения логарифма мы можем записать, что

– t/10 = log2 0,3

Умножаем ур-ние на (– 10) и получаем:

t = – 10 log2 0,3

С помощью калькулятора или компьютера можно узнать, что

log2 0,3 ≈ – 1,737

Тогда искомое нами время примерно равно

t = – 10 log2 0,3 ≈ – 10•(– 1,737) ≈ 17,37 минут ≈ 17 минут 22 секунды

Ответ: – 10 log2 0,3 минут ≈ 17 минут 22 секунды.

Из задачи видно, что с логарифмы используются и при решении некоторых практических задач.

Иногда бывает удобнее использовать иное определение, которое по своей сути почти не отличается от первого:

Вычислим для примера несколько простейших логарифмов:

Ограничения, связанные с логарифмом

Заметим, что сам логарифм может оказаться любым вещественным числом, ведь мы умеем возводить числа и в отрицательные, и в дробные, и даже в иррациональные степени. Однако для логарифма logab некоторые ограничения накладываются на значение числа а (оно называется основанием логарифма) и на значение числа b (будем называть его аргументом логарифма).

Напомним, что при определении показательной функции у = ах было введено ограничение, согласно которому основание степени (число а) должно быть строго положительным числом и при этом НЕ может равняться единице.

Из-за этого и основание логарифма должно также соответствовать этому ограничению.

Основание логарифма и основание показательной функции даже специально обозначают одной буквой а, чтобы связь этих двух понятий была очевидней.

Также напомним, что показательное уравнение ах = b имеет решение только при положительных значениях b. Это решение и представляет собой logab. Если же число b отрицательно, то корня у уравнения нет, а значит и вычислить logab невозможно. Поэтому аргумент логарифма не может быть отрицательным.

Сформулируем эти ограничения в виде одного правила:

Ранее мы уже сталкивались с тремя случаями, когда выражения не имеют смысла. Во-первых, это происходит при делении на ноль (или нахождении нуля в знаменателе дроби, что, по сути, одно и то же).

Во-вторых, выражения бессмысленны, если под корнем четной степени находится отрицательное число.

В-третьих, не имеют смысла выражения, в которых отрицательные числа возводятся в дробную степень, ведь возведение в дробную степень можно заменить извлечением корня

а отрицательное число не должно оказываться под знаком корня

Сейчас мы узнали четвертый подобный случай, связанный с понятием логарифма. Больше в рамках школьного не будут рассматриваться никакие другие ситуации, в которых выражение может потерять смысл.

Основные свойства логарифмов

Любое число, возведенной в первую степень, равно самому себе. То есть справедливо равенство

а1 = а

Из него, пользуясь определением логарифма, получаем первое важное его свойство: logаa = 1.

Продемонстрируем использование этого правила:

Любое число при возведении в нулевую степень равно единице:

Из этого следует второе важное правило: логарифм единицы по любому основанию равен нулю:

Покажем несколько примеров использования этого тривиального правила:

Для получения третьего свойства логарифма запишем очевидно справедливое равенство:

Пользуясь определением логарифма, мы можем записать, что logaac = c.

Продемонстрируем, как работает это свойство логарифмов:

Это правило можно применить для вычисления некоторых простейших логарифмов:

Логарифм logab, согласно одному из своих определений, это та степень, в которую нужно возвести а, чтобы получилось b. Это определение можно представить в виде формулы:

Данное равенство называют основным логарифмическим тождеством.

В силу этого тождества справедливы следующие равенства:

Эффективно подготовиться к ЕГЭ по математике помогут тщательно продуманные онлайн-курсы

Перейти

 

Функция логарифма

Арифметическое действие, в ходе которого находят логарифм какого-либо числа, называется логарифмированием. Это действие является обратным по отношению к возведению в степень. Проиллюстрируем это табличкой, в которой слева будет показана операция возведения в степень, а справа – логарифмирование:

Теперь подумаем о функции у = logax. Так как логарифмирование является обратным действием для возведения в степень, то и ф-ция у = logax должна быть обратной для показательной ф-ции у = ах.

В свою очередь это означает, что графики этих двух функций должны быть симметричны относительно прямой, задаваемой уравнением у = х.

Напомним, что на вид показательной функции у = ах влияет значение основания степени а. Если оно больше единицы, то функция оказывается возрастающей. Тогда и обратная ей логарифмическая функция также окажется возрастающей. Для примера построим графики у = 2х и у = log2x.

Полученный график логарифмической функции называют логарифмической кривой, однако понятно, что она представляет собой всё ту же экспоненту, которую отобразили симметрично относительно оси Ох.

График у = log2x можно и построить иначе, по точкам, просто вычислив ее значение в нескольких «удобных» для вычисления точках:

Видно, что в обоих случаях получился один и тот же график. Похожим будет и график любой функции у =logax, если число а будет больше единицы.

Ситуация меняется в том случае, когда а < 1, ведь при таком основании показательная функция у = ах будет убывающей. Тогда убывающим окажется и логарифмическая функция. Для примера построим график ф-ции = 0,5х и график обратной ей функции у = log0,5x:

Возможно, вы заметили, что графики у = log2x и у = log0,5xчем-то похожи друг на друга. И действительно, если построить их на одной плоскости, то мы увидим, что они симметричны относительно оси Ох:

Причиной такой симметрии является то, что их основания, числа 2 и 0,5, являются обратными числами, то есть при перемножении дают единицу (2•0,5 = 1).

Аналогично такой же симметрией будут обладать любые две логарифмические кривые с обратными основаниями. Это свойство логарифмов мы докажем чуть позднее.

Далее построим ещё несколько графиков, чтобы лучше понять свойства логарифмических функции:

Анализируя полученные графики, мы можем заметить следующие свойства функции логарифма:

Область определения логарифмической функции – это множество всех положительных чисел, то есть промежуток (0; + ∞). Действительно, выражение logаb имеет смысл только тогда, когда число b> 0.

Областью значения логарифмической функции является множество всех действительных чисел, то есть промежуток(– ∞; + ∞).

Логарифмическая функция является строго монотонной. При этом при основании а > 1 она возрастает, а при основании 0

Источник: https://100urokov.ru/predmety/urok-8-logarifmy

Логарифмы и логарифмические уравнения

Какой логарифм равен 3. Логарифм. Свойства логарифма (сложение и вычитание)

Логарифмические уравнения и решение логарифмических уравнений входят в обязательный комплекс знаний и умений школьника, если он стремится сдать ЕГЭ по математике на высокий балл и поступить в ВУЗ, стать студентом. Рассмотрим, что же это такое — логарифм, логарифмические уравнения и как их решать.

Логарифм — что это

Логарифмом числа   по основанию  (=c)называется такой показатель степени , в которую нужно возвести , чтобы получить   (то есть ). При этом задаются ограничения: . Значение логарифма может быть любым.

Вычислите:

,   .

1. Действуем по определению. Подберем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 27.

.

2. При возведении , значит .

Ответ: 3; -3.

Изобретенные в 17 веке для ускорения вычислений, логарифмы значительно сократили время, необходимое для умножения многозначных чисел.

Они были основными в числовой работе более 300 лет, пока совершенство механических вычислительных машин в конце 19 века и компьютеров в 20 веке не сделали их устаревшими для крупномасштабных вычислений. Однако натуральный логарифм (с основанием e ≅ 2.

71828 и записываемый как ln n) продолжает оставаться одной из наиболее полезных функций в математике с приложениями к математическим моделям в физических и биологических науках.

Логарифмическая функция и ее график

Помня об ограничениях, построим по точкам графики логарифмической функция в разных случаях.

Пусть .  Подставим вместо разные числа и определим соответствующие значения переменной.

Отметим координаты точек на плоскости и соединим их плавной линией.

Логарифмическая функция все время возрастает.

Такое поведение характерно для всех логарифмических функций с основанием больше единицы.

Пусть теперь . Составим таблицу значений для этого случая.

Получим следующий график функции:

Все логарифмические функции с основанием от 0 до 1 убывают на всей области определения.

Графики всех логарифмических функций проходят через точку с координатами (1;0).

Особыми знаками принято обозначать логарифмы с основанием десять   и логарифмы с натуральным основанием .

Свойства логарифмов

Для упрощения вычислений при работе с логарифмами полезно знать и уметь использовать основные свойства.

Логарифмы были быстро приняты учеными из-за различных полезных свойств, которые упростили долгие, утомительные вычисления.

В частности, ученые могли найти произведение двух чисел m и n, посмотрев логарифм каждого числа в специальной таблице, сложив логарифмы, а затем снова сверившись с таблицей, чтобы найти число с этим вычисленным логарифмом (известным как его антилогарифм). Выраженная в терминах обычных логарифмов, эта связь определяется как log m n = log m + log n.

Например, 100 × 1000 можно рассчитать, просмотрев логарифмы 100 по основанию 10 и 1000 . Сложив логарифмы , а затем найдя его антилогарифм (то есть число, стоящее под знаком логарифма, в данном случае 100000) в таблице.

Аналогично, задачи деления преобразуются в задачи вычитания с логарифмами: log m/n = log m — log n.

Это еще не все. Расчет степеней и корней может быть упрощен с использованием логарифмов. Логарифмы также могут быть преобразованы между любыми положительными основаниями (за исключением того, что 1 не может использоваться в качестве основания, поскольку все его степени равны 1).

В логарифмические таблицы обычно включались только логарифмы для чисел от 0 до 10. Чтобы получить логарифм некоторого числа вне этого диапазона, число было сначала записано в удобном виде как произведение его значащих цифр и его степени по основанию 10 —

например, 358 будет записано как 3,58 × 10 2,

а 0,0046 будет записано как 4,6 × 10-3.

Тогда логарифм значащих цифр — десятичная дробь между 0 и 1, известная как мантисса — будет найдена в таблице. Например, чтобы найти логарифм 358, можно посмотреть таблицу значений логарифмов 3,58 ≅ 0,55388. Следовательно, lg 358 = lg 3,58 + lg 100 = 0,55388 + 2 = 2,55388.

В примере числа с отрицательным показателем степени, такого как 0,0046, можно посмотреть lg 4,6 ≅ 0,66276. Следовательно, lg 0,0046 = lg 4,6 + lg 0,001 = 0,66276 — 3 = -2,33724.

История логарифмов

Изобретению логарифмов предшествовало сравнение арифметических и геометрических последовательностей.

В геометрической последовательности каждый член образует постоянное соотношение (знаменатель прогрессии) с предыдущим и последующим членами прогрессии: например,… 1/1000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1000… имеет общее отношение 10. В арифметической последовательности каждый последующий член отличается на константу, известную как разность прогрессии, например,… −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3… имеет разность 1.

Обратите внимание, что геометрическая последовательность может быть записана в терминах ее общего отношения, для приведенной выше примерной геометрической последовательности:… 10−3, 10 −2, 10 −1, 10 0, 10 1, 10 2, 10 3….

Умножение двух чисел в геометрической последовательности, скажем, 1/10 и 100, равно суммированию соответствующих показателей степеней с основанием 10: -1 и 2, чтобы получить 10 1 = 10. Таким образом, умножение преобразуется в сложение.

Однако первоначальное сравнение между двумя возможностями вычислений произведения не было основано на каком-либо явном использовании экспоненциальной записи: это было последующее развитие.

В 1620 году в Праге швейцарским математиком Йостом Бурги была опубликована первая таблица, основанная на концепции соотношения геометрических и арифметических последовательностей.

Шотландский математик Джон Непер опубликовал свое открытие логарифмов в 1614 году. Его целью было помочь в умножении величин, которые были связаны с вычислением синуса в прямоугольном треугольнике.

Вычисления Непера и Бригса

В сотрудничестве с английским математиком Генри Бригсом Непер приспособил свой логарифм к его современной форме.

Для неперова логарифма сравнение будет происходить между точками, движущимися по градуированной прямой линии, точка L (для логарифма) движется равномерно от минус бесконечности до плюс бесконечности, точка Х (для синуса) движется от нуля до бесконечности со скоростью пропорционально его расстоянию от нуля. Кроме того, L равно нулю, когда X равно единице, и их скорость в этой точке равна.

Суть открытия Непера состоит в том, что он связал между собой арифметические и геометрические прогрессии — то есть умножение и возведение в степень значений точки X соответствуют сложению и умножению значений точки L соответственно. На практике удобно ограничивать движение L и X требованием, чтобы L = 1 при X = 10, в дополнение к условию, что X = 1 при L = 0. Это изменение привело к бригиану, или общему логарифму.

Непер умер в 1617 году, а Бригс продолжил расчеты в одиночку, опубликовав в 1624 году таблицу логарифмов, рассчитанную до 14 знаков после запятой для чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги появилось только в 1857 году в Берлине.

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — логарифмические линейки были незаменимы в инженерных расчетах.

Современное определение логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Где используются логарифмы

Некоторые области науки, где применяются логарифмы:

  • Децибелы, используемые для измерения звукового давления, определяются с помощью логарифмов.
  • Шкала Рихтера, которая используется для измерения интенсивности землетрясений, определяется с помощью логарифмов
  • Значения pH в химии, которое используется для определения уровня кислотности вещества, также определяется с использованием понятия логарифма.
  • Когда две измеренные величины оказываются связанными степенной функцией, параметры функции могут быть оценены с использованием логарифмов.
  • Логарифмы могут быть использованы для решения уравнений, таких как 2х = 3.

Решение логарифмических уравнений

Рассмотрим простейшие логарифмические уравнения и примеры их решения.

Задание 1

Решите уравнение log5(x2+x)=log5(x2+9)

Ответ:9

Решение: Так как основания логарифмов одинаковы, то числа, стоящие под знаком логарифмов — одинаковы:

,

Задание 2

Решите уравнение logx-5 49 = 2.

Если уравнение с логарифмами имеет более одного корня, в ответе укажите наибольший из них.

Ответ: 12

Решение:

(x – 5)2 = 49;

x2 – 10 x + 25 = 49;

x2 – 10 x – 24 = 0;

a = 1 , b = -10, c = -24;

При х = –2 основание логарифма отрицательно (известно, что основание должно быть положительным). Решением является корень 12. Сделайте проверку.

Задание 3

Найдите корень уравнения log2(4 – x) = 7.

Ответ:-124

Решение:

27 = 4 – x;

128=4-х;

х = 4 – 128;

х = −124.

Задание 4

Найдите корень уравнения .

Ответ: 115

Решение: 27=33, тогда

или или  уравнения с логарифмами. По основному свойству логарифмов: при возведении числа в степень логарифма с таким же основанием, остается число, стоящее под знаком логарифма, то есть: . Тогда получим: .

Решая данное уравнение, получим: ,

.

Задание 5

Решите уравнение logx+725 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наименьший из них.

Ответ: -2

Решение: .

,  .

и

и

Так как x должен быть больше -7, то корень  не подходит. И остается один единственный корень: .

Таким образом, уже не важно — наибольший это корень или наименьший, он один подходит. Поэтому в ответе указываем его.

Задание 6

Решите уравнение log2(2 – x) = log2(2 – 3x) + 1

Ответ: x=0,4.

Решение: мы знаем, что , тогда пусть в нашем случае : ,

применяя свойство сложения двух логарифмов с одинаковыми основаниями, получим:

или

.

Задание 7

Решите уравнение log5(7 – x) = log5(3 – x) + 1

Ответ: 2

Решение: мы знаем, что , тогда пусть в нашем случае : .

применяя свойство сложения двух логарифмов с одинаковыми основаниями, получим:

.

Задание 8

Найдите корень уравнения

Ответ: x=-1

Решение:

.

так как у нас должно выполняться условие:

, откуда , таким образом нам подходит только один корень .

Итак, мы рассмотрели решение логарифмических уравнений с подробным решением каждого из них. Вы узнали, что такое логарифм, историю возникновения логарифма и имена ученых, которые схватили идею расчета произведения через сложение и изобрели логарифм, который на многие годы облегчил расчеты инженеров, строителей, ученых.

Источник: https://novstudent.ru/logarifmicheskie-uravneniya/

Формулы логарифмов: примеры решения перехода к новому основанию натурального логарифма и таблица или шпаргалка для этого в 10 классе

Какой логарифм равен 3. Логарифм. Свойства логарифма (сложение и вычитание)

19.12.2019

Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения. Ранее мы уже познакомились с понятием логарифма. А также рассмотрели основные свойства и примеры решения.

Формулы логарифмов сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства.

Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения

Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов.

Примеры решения логарифмов на основании формул

Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.

Согласно определения logab = x, что равносильно ax = b, поэтому logaax = x.

Логарифмы, примеры:

log28 = 3, т.к. 23 = 8

log749 = 2, т.к. 72 = 49

log51/5 = -1, т.к. 5-1 = 1/5

Десятичный логарифм — это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.

lg100 = 2

log10100 = 2, т.к. 102 = 100

Натуральный логарифм — также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828… — иррациональное число). Обозначается как ln.

Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.

Основное логарифмическое тождествоa logab = bПример.

82log83 = (82log83)2 = 32 = 9

Логарифм произведения равен сумме логарифмов loga (bc) = logab + logacПример.

log38,1 + log310 = log3 (8,1*10) = log381 = 4

Логарифм частного равен разности логарифмовloga (b/c) = logab — logacПример.

9 log550/9 log52 = 9 log550- log52 = 9 log525 = 9 2 = 81

Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

Показатель степени логарифмируемого числа logab m = mlogab

Показатель степени основания логарифма loganb =1/n*logab

loganb m = m/n*logab,

если m = n, получим loganb n = logab

Пример.

log49 = log223 2 = log23

Переход к новому основанию
logab = logcb/logca,

если c = b, получим logbb = 1

тогда logab = 1/logba

Пример.

log0,83*log31,25 = log0,83*log0,81,25/log0,83 = log0,81,25 = log4/55/4 = -1

Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям.

Источник:

Логарифм: что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства

Сейчас речь пойдет о трех страшных буквах: l o g.Существовать в нашем бытии они просто так не могут. Обязательно должен быть какой-нибудь индекс — число снизу (основание логарифма) и число после букв (аргумент логарифма).

Прежде, чем мы перейдем к тому, что такое логарифм, решим парочку подводящих примеров.

Чтобы справиться с этим примером, мы проговариваем в голове: какое число нужно дважды (т.к. корень квадратный) умножить само на себя, чтобы получить 81.

А этот пример можно решить по алгоритму (решения показательных уравнений), а можно так же провести разговор с самим собой (главное не вслух, я считаю это нормально, но кого-то вы можете напугать разговором с самим собой): сколько раз нужно число 3 умножить само на себя, чтобы получить 27. Постепенным перемножением мы дойдем до ответа.

Тогда, если дело касается логарифма:

можно сказать так: в какую степень нужно возвести 3 (число снизу — основание логарифма), чтобы получить 27 (число слева — аргумент логарифма). Не напоминает выше стоящий пример?

На самом деле в этом и заключается основная формула (определение логарифма):

Логарифм говорит нам (кому-то кричит): логарифм числа «b» по основанию «a» равняется числу «c». Тогда без логарифма это можно сформулировать так: чтобы получить число «b», требуется число «a» возвести в степень «c». Логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

У отца log есть два родных сына: ln и lg. Так же, как сыновья отличаются возрастом (мы говорим о максимальной точности), так и эти логарифмы отличаются основанием (числовым индексом снизу).

Данные логарифмы придумали для упрощения записи. На самом деле в прикладной математики именно логарифмы по такому основанию встречаются чаще всех остальных. А мы все в глубине души народ ленивый, так что почему бы себе жизнь не упростить?

Что нужно запомнить: ln — это обычный логарифм только по основанию e ( e — это число Эйлера, e = 2,7182…, мой номер телефона, кстати, — это последние 11 цифр числа Эйлера, так что буду ждать звонка).

А lg — это обычный логарифм по основанию 10 (10ая система — это система счисления, в которой мы живем, столько пальцев на руках у среднего человека. В общем 10 — это как 9, только на 1 больше).

Как мы не можем существовать без еды, воды, интернета…  Так и логарифм не представляет свое существование без ОДЗ.

Всегда, когда существует логарифм, должно быть:

«Почему это так?» — это первый вопрос, который я предоставляю тебе. Советую начать с того, что логарифм — это обратное действие от возведения в степень.

А теперь  разберем теорию на практике:

В какую степень нужно возвести два (число в основании), чтобы получить шестнадцать (аргумент логарифма).

Два нужно четыре раза умножить само на себя, чтобы получить 16.

Ответ: 4.

Источник:

Логарифмы: правила, основные свойства и формулы :

Логарифмы и правила действий с ними достаточно емкие и простые. Следовательно, разобраться в данной теме вам не составит труда. После того как вы узнаете все правила натуральных логарифмов, любая задача решится самостоятельно.

Первое знакомство с этой темой может показаться скучным и бессмысленным, но именно при помощи логарифмов решились многие проблемы математиков XVI века. «О чем это?» — подумали вы.

Прочтите статью до конца и узнаете, что этот раздел «царицы наук» может быть интересен не только математикам, ученым точных наук, но и простым ученикам средних школ.

Источник: https://rgiufa.ru/matematika-fizika-himiya/kakie-sushhestvuyut-formuly-logarifmov.html

Логарифмы

Какой логарифм равен 3. Логарифм. Свойства логарифма (сложение и вычитание)

  • Основное логарифмическое тождество
  • Свойства логарифмов

Логарифм данного числа — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число.

О равенстве  ax = N  можно сказать, что  x  — это логарифм числа  N  по основанию  a  (где  a > 0   и   a ≠ 1).

Слово логарифм сокращённо обозначается  log,  основание же, при котором указывается логарифм данного числа, обозначается в виде нижнего индекса с правой стороны  log.

Если мы знаем, что логарифм числа  N  при основании  a  равен числу  x,  то есть:

logaN = x,

то это равенство можно написать без знака логарифма

ax = N,

где  a  — основание степени,  x  — показатель степени,  N  — степень.

Оба равенства:

logaN = x   и   ax = N

выражают одну и ту же зависимость между числами ax  и  N:  если дано одно из равенств, значит можно написать и второе. Эту же зависимость между числами  ax  и  N  можно выразить ещё одним равенством:

x√ N  = a   или   a =x√ N .

Отрицательные числа и нуль ни при каком основании  a  (a > 0   и   a ≠ 1)  логарифмов не имеют.

Основное логарифмическое тождество

Степень, показателем которой является логарифм числа  N  при таком же основании, как и основание степени, равна числу  N.

alogaN = N.

Возьмём логарифм числа  N  при основании  a  равный числу  q

logaN = q,  значит  aq = N.

Подставив в последнее равенство вместо числа  q  равное ему выражение  logaN,  получим

alogaN = N.

Выражение  alogaN = N  называется основным логарифмическим тождеством.

Вопросы адвокату
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: