Какой логарифм равен 3. Логарифм. Свойства логарифма (сложение и вычитание)

Содержание
  1. Логарифмы
  2. Основное логарифмическое тождество
  3. Свойства логарифмов
  4. Логарифм и его свойства
  5. Как посчитать логарифм
  6. Десятичный логарифм
  7. Натуральный логарифм
  8. Формулы логарифмов: примеры решения перехода к новому основанию натурального логарифма и таблица или шпаргалка для этого в 10 классе
  9. Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения
  10. Примеры решения логарифмов на основании формул
  11. Логарифм: что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства
  12. Логарифмы: правила, основные свойства и формулы :
  13. Определение логарифма и его свойства: теория и решение задач
  14. Исторический очерк
  15. Определение логарифма
  16. Разновидности логарифмов
  17. Правила и ограничения
  18. Как найти логарифм
  19. Уравнения и неравенства
  20. Примеры задач
  21. Практическое применение
  22. Логарифмические зависимости
  23. Механика и физика
  24. Химия
  25. Психология и биология
  26. Другие области
  27. Логарифмы и логарифмические уравнения
  28. Логарифм — что это
  29. Логарифмическая функция и ее график
  30. История логарифмов
  31. Вычисления Непера и Бригса
  32. Где используются логарифмы
  33. Решение логарифмических уравнений
  34. Задание 1
  35. Задание 2
  36. Задание 3
  37. Задание 4
  38. Задание 5
  39. Задание 6
  40. Задание 7
  41. Задание 8

Логарифмы

Какой логарифм равен 3. Логарифм. Свойства логарифма (сложение и вычитание)

  • Основное логарифмическое тождество
  • Свойства логарифмов

Логарифм данного числа — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число.

О равенстве  ax = N  можно сказать, что  x  — это логарифм числа  N  по основанию  a  (где  a > 0   и   a ≠ 1).

Слово логарифм сокращённо обозначается  log,  основание же, при котором указывается логарифм данного числа, обозначается в виде нижнего индекса с правой стороны  log.

Если мы знаем, что логарифм числа  N  при основании  a  равен числу  x,  то есть:

logaN = x,

то это равенство можно написать без знака логарифма

ax = N,

где  a  — основание степени,  x  — показатель степени,  N  — степень.

Оба равенства:

logaN = x   и   ax = N

выражают одну и ту же зависимость между числами ax  и  N:  если дано одно из равенств, значит можно написать и второе. Эту же зависимость между числами  ax  и  N  можно выразить ещё одним равенством:

x√ N  = a   или   a =x√ N .

Отрицательные числа и нуль ни при каком основании  a  (a > 0   и   a ≠ 1)  логарифмов не имеют.

Основное логарифмическое тождество

Степень, показателем которой является логарифм числа  N  при таком же основании, как и основание степени, равна числу  N.

alogaN = N.

Возьмём логарифм числа  N  при основании  a  равный числу  q

logaN = q,  значит  aq = N.

Подставив в последнее равенство вместо числа  q  равное ему выражение  logaN,  получим

alogaN = N.

Выражение  alogaN = N  называется основным логарифмическим тождеством.

Свойства логарифмов

Рассмотрены свойства логарифмов для оснований, которые больше нуля и не равны единице:

a > 0    и    a ≠ 1.

Логарифм единицы равен нулю.

loga1 = 0,

так как нулевая степень любого числа (за исключением нуля) равна  1:

a0 = 1.

Логарифм числа равного основанию равен единице.

logaa = 1,

так как первая степень любого числа равна этому же числу без степени:

a1 = a.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

logaMN = logaM + logaN ,

где  M > 0,  N > 0.

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя (или логарифм дроби равен логарифму числителя минус логарифм знаменателя).

logaM = logaMlogaN ,
N

где  M > 0,  N > 0.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

loga(Nα) = α logaN ,

где  N > 0.

Логарифм, у которого в основании стоит степень, равен частному от деления логарифма при этом же основании без степени на показатель степени основания.

logaxNlogaN = 1 logaN ,
xx

где  N > 0,  x ≠ 0.

Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.

logax√ N logaN = 1 logaN .
xx

Из формулы логарифма корня и формулы логарифма, у которого в основании стоит степень, можно сделать вывод, что логарифм корня равен логарифму данного числа с основанием в степени, равной показателю корня.

logax√ N = logaxN1 logaN .
x

Свойства логарифмов степени и корня можно объединить ещё в одно:

где  N > 0,  β ≠ 0.

Любой логарифм можно представить в виде отношения двух логарифмов, взятых по одному и тому же произвольному основанию.

где  N > 0.  Данная формула называется формулой перехода к новому основанию.

Произведение взаимно обратных логарифмов равно единице.

logba · logab = 1.

Взаимно обратные логарифмы — это пара логарифмов, у которых основание и выражение под знаком логарифма поменялись местами.

Величина логарифма не изменится, если возвести число, стоящее под знаком логарифма, и одновременно основание логарифма в какую-либо степень.

logaN = logaxNx,

где  N > 0,  x ≠ 0.

Новое на сайте|contact@izamorfix.ru
2018 − 2020©izamorfix.ru

Источник: https://izamorfix.ru/matematika/algebra/logarifmy.html

Логарифм и его свойства

Какой логарифм равен 3. Логарифм. Свойства логарифма (сложение и вычитание)

Все знакомы, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 – это 2 в пятой степени, то есть двойка, умноженная на саму себя пять раз.

Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.

Логарифм от числа 32 по основанию 2 (\(log_{2}(32)\)) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32. Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:

$$ log_{2}(32)=5;$$

Аналогично, глядя в таблицу получим, что:

$$log_{2}(4)=2;$$ $$log_{2}(8)=3;$$ $$log_{2}(16)=4;$$ $$log_{2}(64)=6;$$ $$log_{2}(128)=7.$$

Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям больших 0. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.

Теперь дадим определение логарифма в общем виде:

Логарифмом положительного числа \(b\) по основанию положительно числа \(a\) называется степень \(c\), в которую нужно возвести число \(a\), чтобы получить \(b\)

$$log_{a}(b)=c;$$ $$a{c}=b.$$

Будьте внимательны! В первое время обычно путают, что такое основание и то, что стоит под логарифмом (аргумент). Логарифм – это всегда функция, зависящая от двух переменных. Чтобы их не путать, помните определение логарифма – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.

Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто будет, что логарифм нельзя в уме посчитать. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:

$$log_{2}(5)=???$$

Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:

$$log_{2}(5)=2,32192809…$$

Или логарифм шести по основанию 4:

$$log_{4}(6)= 1.2924812…$$

На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!

Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто! Давайте для примера оценим логарифм \(log_{4}(6)\). Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать, другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6ке:

$$ log_{4}(4) \lt log_{4}(6) \lt log_{4}(16);$$ $$ 1 \lt log_{4}(6) \lt 2. $$

Значит \(log_{4}(6)\) принадлежите промежутку от 1 до 2:

$$ log_{4}(6) \in [1;2]. $$

Как посчитать логарифм

Перед тем, как научиться считать логарифмы, нужно ввести несколько ограничений. Дело в том, что функция логарифма \(log_{a}(b)\) существует только при положительных значениях основания \(a\) и аргумента \(b\). И кроме этого на основание накладывается условие, что она не должно быть равно \(1\).

$$ log_{a}(b) \quad существует,\;при \quad a \gt 0; \;b \gt 0 \;a eq 1.$$

Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть \(0\). А основание не равно \(1\), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь \(1\) в любой степени это будет \(1\).

При этих ограничениях логарифм существует.

В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.

Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.

$$log_{3}(\frac{1}{3})=-1;$$

Так как (вспоминайте определение отрицательной степени)

$$3{-1}=\frac{1}{3};$$

Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:

  • Во-первых, постарайтесь представить основание и аргумент (то, что стоит под логарифмом) в виде степеней с одинаковым основанием. Параллельно с этим избавляемся от всех десятичных дробей – переводим их в обыкновенные.
  • Разобраться в какую степень \(x\) нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Когда у вас там и там степени с одинаковым основанием, это сделать довольно просто.
  • \(x\) и будет искомым значением логарифма.

Давайте разберем на примерах.

Пример 1. Посчитать логарифм \(9\) по основанию \(3\): \(log_{3}(9)\)

  • Сначала представим аргумент и основание в виде степени тройки: $$ 3=31, \qquad 9=32;$$
  • Теперь надо разобраться в какую степень \(x\) нужно возвести \(31\), чтобы получить \(32\) $$ (31)x=32, $$ $$ 3{1*x}=32, $$ $$ 1*x=2,$$ $$ x=2.$$
  • Вот мы и решили: $$log_{3}(9)=2.$$

Пример 2. Вычислить логарифм \(\frac{1}{125}\) по основанию \(5\): \(log_{5}(\frac{1}{125})\)

  • Представим аргумент и основание в виде степени пятерки: $$ 5=51, \qquad \frac{1}{125}=\frac{1}{53}=5{-3};$$
  • В какую степень \(x\) надо возвести \(51\), чтобы получить \(5{-3}\): $$ (51)x=5{-3}, $$ $$ 5{1*x}=5{-3},$$ $$1*x=-3,$$ $$x=-3.$$
  • Получили ответ: $$ log_{5}(\frac{1}{125})=-3.$$

Пример 3. Вычислить логарифм \(4\) по основанию \(64\): \(log_{64}(4)\)

  • Представим аргумент и основание в виде степени двойки: $$ 64=26, \qquad 4=22;$$
  • В какую степень \(x\) надо возвести \(26\), чтобы получить \(2{2}\): $$ (26)x=2{2}, $$ $$ 2{6*x}=2{2},$$ $$6*x=2,$$ $$x=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$$
  • Получили ответ: $$ log_{64}(4)=\frac{1}{3}.$$

Пример 4. Вычислить логарифм \(1\) по основанию \(8\): \(log_{8}(1)\)

  • Представим аргумент и основание в виде степени двойки: $$ 8=23 \qquad 1=20;$$
  • В какую степень \(x\) надо возвести \(23\), чтобы получить \(2{0}\): $$ (23)x=2{0}, $$ $$ 2{3*x}=2{0},$$ $$3*x=0,$$ $$x=\frac{0}{3}=0.$$
  • Получили ответ: $$ log_{8}(1)=0.$$

Пример 5. Вычислить логарифм \(15\) по основанию \(5\): \(log_{5}(15)\)

  • Представим аргумент и основание в виде степени пятерки: $$ 5=51 \qquad 15= ???;$$ \(15\) в виде степени пятерки не представляется, поэтому этот логарифм мы не можем посчитать. У него значение будет иррациональное. Оставляем так, как есть: $$ log_{5}(15).$$

Внимание!

Как понять, что некоторое число \(a\) не будет являться степенью другого числа \(b\). Это довольно просто – нужно разложить \(a\) на простые множители.

$$16=2*2*2*2=24,$$

\(16\) разложили, как произведение четырех двоек, значит \(16\) будет степенью двойки.

$$ 48=6*8=3*2*2*2*2,$$

Разложив \(48\) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя \(2\) и \(3\), значит \(48\) не будет степенью.

Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.

Десятичный логарифм

На самом деле, все просто. Десятичный логарифм – это любой обыкновенный логарифм, но с основанием 10. Обозначается – \(lg(a)\).

Пример 6

$$ log_{10}(100)= lg(100)=2;$$ $$log_{10}(1000)=lg(1000)=3;$$ $$log_{10}(10)=lg(10)=1.$$

Натуральный логарифм

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию \(e\). Обозначение – \(ln(x)\). Что такое \(e\)? Так обозначают экспоненту, число-константу, равную, примерно, \(2,718281828459…\).

Это число известно тем, что используется в многих математических законах.

Просто запомните, что логарифмы с основанием \(e\) часто встречаются, и поэтому им придумали специальное название – натуральный логарифм.

Пример 7

$$ log_{e}(e2)=ln(e2)=2;$$ $$ log_{e}(e)=ln(e)=1;$$ $$ log_{e}(e5)=ln(e5)=5.$$

Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.

У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.

Формулы логарифмов: примеры решения перехода к новому основанию натурального логарифма и таблица или шпаргалка для этого в 10 классе

Какой логарифм равен 3. Логарифм. Свойства логарифма (сложение и вычитание)

19.12.2019

Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения. Ранее мы уже познакомились с понятием логарифма. А также рассмотрели основные свойства и примеры решения.

Формулы логарифмов сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства.

Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения

Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов.

Примеры решения логарифмов на основании формул

Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.

Согласно определения logab = x, что равносильно ax = b, поэтому logaax = x.

Логарифмы, примеры:

log28 = 3, т.к. 23 = 8

log749 = 2, т.к. 72 = 49

log51/5 = -1, т.к. 5-1 = 1/5

Десятичный логарифм — это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.

lg100 = 2

log10100 = 2, т.к. 102 = 100

Натуральный логарифм — также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828… — иррациональное число). Обозначается как ln.

Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.

Основное логарифмическое тождествоa logab = bПример.

82log83 = (82log83)2 = 32 = 9

Логарифм произведения равен сумме логарифмов loga (bc) = logab + logacПример.

log38,1 + log310 = log3 (8,1*10) = log381 = 4

Логарифм частного равен разности логарифмовloga (b/c) = logab — logacПример.

9 log550/9 log52 = 9 log550- log52 = 9 log525 = 9 2 = 81

Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

Показатель степени логарифмируемого числа logab m = mlogab

Показатель степени основания логарифма loganb =1/n*logab

loganb m = m/n*logab,

если m = n, получим loganb n = logab

Пример.

log49 = log223 2 = log23

Переход к новому основанию
logab = logcb/logca,

если c = b, получим logbb = 1

тогда logab = 1/logba

Пример.

log0,83*log31,25 = log0,83*log0,81,25/log0,83 = log0,81,25 = log4/55/4 = -1

Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям.

Источник:

Логарифм: что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства

Сейчас речь пойдет о трех страшных буквах: l o g.Существовать в нашем бытии они просто так не могут. Обязательно должен быть какой-нибудь индекс — число снизу (основание логарифма) и число после букв (аргумент логарифма).

Прежде, чем мы перейдем к тому, что такое логарифм, решим парочку подводящих примеров.

Чтобы справиться с этим примером, мы проговариваем в голове: какое число нужно дважды (т.к. корень квадратный) умножить само на себя, чтобы получить 81.

А этот пример можно решить по алгоритму (решения показательных уравнений), а можно так же провести разговор с самим собой (главное не вслух, я считаю это нормально, но кого-то вы можете напугать разговором с самим собой): сколько раз нужно число 3 умножить само на себя, чтобы получить 27. Постепенным перемножением мы дойдем до ответа.

Тогда, если дело касается логарифма:

можно сказать так: в какую степень нужно возвести 3 (число снизу — основание логарифма), чтобы получить 27 (число слева — аргумент логарифма). Не напоминает выше стоящий пример?

На самом деле в этом и заключается основная формула (определение логарифма):

Логарифм говорит нам (кому-то кричит): логарифм числа «b» по основанию «a» равняется числу «c». Тогда без логарифма это можно сформулировать так: чтобы получить число «b», требуется число «a» возвести в степень «c». Логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

У отца log есть два родных сына: ln и lg. Так же, как сыновья отличаются возрастом (мы говорим о максимальной точности), так и эти логарифмы отличаются основанием (числовым индексом снизу).

Данные логарифмы придумали для упрощения записи. На самом деле в прикладной математики именно логарифмы по такому основанию встречаются чаще всех остальных. А мы все в глубине души народ ленивый, так что почему бы себе жизнь не упростить?

Что нужно запомнить: ln — это обычный логарифм только по основанию e ( e — это число Эйлера, e = 2,7182…, мой номер телефона, кстати, — это последние 11 цифр числа Эйлера, так что буду ждать звонка).

А lg — это обычный логарифм по основанию 10 (10ая система — это система счисления, в которой мы живем, столько пальцев на руках у среднего человека. В общем 10 — это как 9, только на 1 больше).

Как мы не можем существовать без еды, воды, интернета…  Так и логарифм не представляет свое существование без ОДЗ.

Всегда, когда существует логарифм, должно быть:

«Почему это так?» — это первый вопрос, который я предоставляю тебе. Советую начать с того, что логарифм — это обратное действие от возведения в степень.

А теперь  разберем теорию на практике:

В какую степень нужно возвести два (число в основании), чтобы получить шестнадцать (аргумент логарифма).

Два нужно четыре раза умножить само на себя, чтобы получить 16.

Ответ: 4.

Источник:

Логарифмы: правила, основные свойства и формулы :

Логарифмы и правила действий с ними достаточно емкие и простые. Следовательно, разобраться в данной теме вам не составит труда. После того как вы узнаете все правила натуральных логарифмов, любая задача решится самостоятельно.

Первое знакомство с этой темой может показаться скучным и бессмысленным, но именно при помощи логарифмов решились многие проблемы математиков XVI века. «О чем это?» — подумали вы.

Прочтите статью до конца и узнаете, что этот раздел «царицы наук» может быть интересен не только математикам, ученым точных наук, но и простым ученикам средних школ.

Источник: https://rgiufa.ru/matematika-fizika-himiya/kakie-sushhestvuyut-formuly-logarifmov.html

Определение логарифма и его свойства: теория и решение задач

Какой логарифм равен 3. Логарифм. Свойства логарифма (сложение и вычитание)

По мере развития общества, усложнения производства развивалась и математика. Движение от простого к сложному. От обычного учёта методом сложения и вычитания, при их многократном повторении, пришли к понятию умножения и деления.

Сокращение многократно повторяемой операции умножения стало понятием возведения в степень. Первые таблицы зависимости чисел от основания и числа возведения в степень были составлены ещё в VIII веке индийским математиком Варасена.

С них и можно отсчитывать время возникновения логарифмов.

  • Исторический очерк
  • Определение логарифма
  • Разновидности логарифмов
  • Правила и ограничения
  • Как найти логарифм
  • Уравнения и неравенства
  • Практическое применение

Исторический очерк

Возрождение Европы в XVI веке стимулировало и развитие механики. Требовался большой объем вычисления, связанных с умножением и делением многозначных чисел. Древние таблицы оказали большую услугу.

Они позволяли заменять сложные операции на более простые – сложение и вычитание. Большим шагом вперёд стала работа математика Михаэля Штифеля, опубликованная в 1544 году, в которой он реализовал идею многих математиков.

Что позволило использовать таблицы не только для степеней в виде простых чисел, но и для произвольных рациональных.

В 1614 году шотландец Джон Непер, развивая эти идеи, впервые ввёл новый термин «логарифм числа». Были составлены новые сложные таблицы для расчёта логарифмов синусов и косинусов, а также тангенсов. Это сильно сократило труд астрономов.

Стали появляться новые таблицы, которые успешно использовались учёными на протяжении трёх веков. Прошло немало времени, прежде чем новая операция в алгебре приобрела свой законченный вид. Было дано определение логарифма, и его свойства были изучены.

Только в XX веке с появлением калькулятора и компьютера человечество отказалось от древних таблиц, успешно работавших на протяжении XIII веков.

Определение логарифма

Сегодня мы называем логарифмом b по основанию a число x, которое является степенью числа а, чтобы получилось число b. В виде формулы это записывается: x = log a(b).

Например, log 3(9) будет равен 2. Это очевидно, если следовать определению. Если 3 возвести в степень 2, то получим 9.

Так, сформулированное определение ставит только одно ограничение, числа a и b должны быть вещественными.

Разновидности логарифмов

Классическое определение носит название вещественный логарифм и фактически является решением уравнения ax = b. Вариант a = 1 является пограничным и не представляет интереса. Внимание: 1 в любой степени равно 1.

Вещественное значение логарифма определено только при основании и аргументе больше 0, при этом основание не должно равняться 1.

Особое место в области математики играют логарифмы, которые будут называться в зависимости от величины их основания:

  • Двоичные с основанием a = 2, нашли своё применение во многих разделах дискретной математики, информатике, а также теории информации; записываются как lb (b).
  • Десятичные с основанием a = 10; записываются как lg (b).
  • Натуральные с основанием a = e, где математическая константа e = 2,71828 — иррациональное и трансцендентное число, называемое Постоянная Эйлера; записываются как ln (b).

Правила и ограничения

Основополагающим свойством логарифмов является правило: логарифм произведения равен логарифмической сумме. log abp = lоg a(b) + log a(p).

Как вариант этого утверждения будет: log с(b/p) = lоg с(b) — log с(p), функция частного равна разности функций.

Из предыдущих двух правил легко видно, что: lоg a(bp) = p * log a(b).

Среди других свойств можно выделить:

  • Правило тождественности, когда aloga(b) = b, следствием этого правила является следующее утверждение: если aloga(b) = aloga(c), то b = c.
  • Замечательные значения отражены в двух формулах: логарифм единицы всегда равен нулю log a(1) = 0 и логарифм числа, равного основанию, равен единице log a(a) = 1.
  • При использовании отрицательных чисел можно применить формулу, справедливую для модуля чисел: log c|ab| = log c|a| + log c|b|.

Замечание. Не надо делать распространённую ошибку — логарифм суммы не равен сумме логарифмов.

Как найти логарифм

Многие века операция поиска логарифма была довольно трудоёмкой задачей. Математики пользовались известной формулой логарифмической теории разложения на многочлен:

ln (1 + x) = x — (x2)/2 + (x3)/3 — ( x4)/4 + … + ((-1)(n + 1))*((xn)/n), где n — натуральное число больше 1, определяющее точность вычисления.

Логарифмы с другими основаниями вычислялись, используя теорему о переходе от одного основания к другому и свойстве логарифма произведения.

Так как этот способ очень трудоёмкий и при решении практических задач трудноосуществим, то использовали заранее составленные таблицы логарифмов, что значительно ускоряло всю работу.

В некоторых случаях использовали специально составленные графики логарифмов, что давало меньшую точность, но значительно ускоряло поиск нужного значения. Кривая функции y = log a(x), построенная по нескольким точкам, позволяет с помощью обычной линейки находить значения функции в любой другой точке. Инженеры длительное время для этих целей использовали так называемую миллиметровую бумагу.

В XVII веке появились первые вспомогательные аналоговые вычислительные условия, которые к XIX веку приобрели законченный вид. Наиболее удачное устройство получило название логарифмическая линейка. При всей простоте устройства, её появление значительно ускорило процесс всех инженерных расчётов, и это переоценить трудно. В настоящее время уже мало кто знаком с этим устройством.

Появление калькуляторов и компьютеров сделало бессмысленным использование любых других устройств.

Уравнения и неравенства

Для решения различных уравнений и неравенств с использованием логарифмов применяются следующие формулы:

  • Переход от одного основания к другому: lоg a(b) = log c(b) / log c(a);
  • Как следствие предыдущего варианта: lоg a(b) = 1 / log b(a).

Для решения неравенств полезно знать:

  • Значение логарифма будет положительным только в том случае, когда основание и аргумент одновременно больше или меньше единицы; если хотя бы одно условие нарушено, значение логарифма будет отрицательным.
  • Если функция логарифма применяется к правой и левой части неравенства, и основание логарифма больше единицы, то знак неравенства сохраняется; в противном случае он меняется.

Примеры задач

Рассмотрим несколько вариантов применения логарифмов и их свойства. Примеры с решением уравнений:

  • Задача 1. Решить уравнение log 2(2x-1) = 4. Решение: по определению 2х — 1 = 24 , или 2х — 1 = 16, далее 2х = 17, получаем х = 8,5. Ответ: при значении х = 8,5 уравнение действительно.
  • Задача 2. Вычислить log 6(30) / log 30(6) — log 6(180) / log5(6). Решение: приведём к одному основанию 6. Следующим действием раскрываем скобки и вместо логарифма 6 по основанию 6 подставляем его значение 1. Таким образом, log 6(30) * lоg 6(30) — log 6(180) * log 6(5). Разложим числа на простые множители log 6(5*6) * log 6(5*6) — lоg 6(5*6*6) * log 6(5) и заменяем логарифм 5 по основанию 6 на t. Тогда (t +1) * (t +1) — (t +2) * t. Раскрываем скобки t2 + t + t +1 — t 2 — 2t. Приводим подобные члены и получаем 1. Ответ: значение выражения равно 1.

Рассмотрим вариант размещения логарифма в степени:

  • Задача 3. Вычислить 25log 5(3). Решение: в условиях задачи запись аналогична следующей (52)log5(3) или 5(2 * log 5(3)). Запишем по-другому: 5log 5(3*2), или квадрат числа в качестве аргумента функции можно записать как квадрат самой функции (5log 5(3))2. Используя свойства логарифмов, это выражение равно 32. Ответ: в результате вычисления получаем 9.

Практическое применение

Являясь исключительно математическим инструментом, кажется далёким от реальной жизни, что логарифм неожиданно приобрёл большое значение для описания объектов реального мира. Трудно найти науку, где его не применяют. Это в полной мере относится не только к естественным, но и гуманитарным областям знаний.

Логарифмические зависимости

Приведём несколько примеров числовых зависимостей:

  • Число простых чисел на интервале от 1 до n приблизительно равно n / ln (n).
  • Для поиска k-го простого числа можно пользоваться формулой k * ln (k).
  • Логарифмическое распределение часто используется для оценки вероятностных событий в генетике и физике.
  • В информатике известно, что для хранения в памяти компьютера натурального числа N потребуется log 2(N) + 1 бит памяти.

Механика и физика

Исторически механика и физика всегда развивались с использованием математических методов исследования и одновременно служили стимулом для развития математики, в том числе логарифмов. Теория большинства законов физики написана языком математики. Приведём только два примера описания физических законов с использованием логарифма.

Решать задачу расчёта такой сложной величины как скорость ракеты можно, применяя формулу Циолковского, которая положила начало теории освоения космоса:

V = I * ln (M1/M2), где

  • V – конечная скорость летательного аппарата.
  • I – удельный импульс двигателя.
  • M 1 – начальная масса ракеты.
  • M 2 – конечная масса.

Другой важный пример — это использование в формуле другого великого учёного Макса Планка, которая служит для оценки равновесного состояния в термодинамике.

S = k * ln (Ω), где

  • S – термодинамическое свойство.
  • k – постоянная Больцмана.
  • Ω – статистический вес разных состояний.

Химия

Менее очевидным будет использования формул в химии, содержащих отношение логарифмов. Приведём тоже только два примера:

  • Уравнение Нернста, условие окислительно-восстановительного потенциала среды по отношению к активности веществ и константой равновесия.
  • Расчёт таких констант, как показатель автопролиза и кислотность раствора тоже не обходятся без нашей функции.

Психология и биология

И уж совсем непонятно при чём здесь психология. Оказывается, сила ощущения хорошо описывается этой функцией как обратное отношение значения интенсивности раздражителя к нижнему значению интенсивности.

После вышеприведённых примеров уже не удивляет, что и в биологии широко используется тема логарифмов. Про биологические формы, соответствующие логарифмическим спиралям, можно писать целые тома.

Другие области

Кажется, невозможно существование мира без связи с этой функцией, и она правит всеми законами. Особенно, когда законы природы связаны с геометрической прогрессией. Стоит обратиться к сайту МатПрофи, и таких примеров найдётся множество в следующих сферах деятельности:

  • Теории акустики.
  • Радиотехнике и электросвязи.
  • Астрономии.
  • Сейсмологии.
  • Оптике.
  • Фотографии.
  • Сельском хозяйстве.
  • Теории управления.

Список может быть бесконечным. Освоив основные закономерности этой функции, можно окунуться в мир бесконечной мудрости.

Источник: https://1001student.ru/matematika/opredelenie-logarifma-i-ego-svojstva-teoriya-i-reshenie-zadach.html

Логарифмы и логарифмические уравнения

Какой логарифм равен 3. Логарифм. Свойства логарифма (сложение и вычитание)

Логарифмические уравнения и решение логарифмических уравнений входят в обязательный комплекс знаний и умений школьника, если он стремится сдать ЕГЭ по математике на высокий балл и поступить в ВУЗ, стать студентом. Рассмотрим, что же это такое — логарифм, логарифмические уравнения и как их решать.

Логарифм — что это

Логарифмом числа   по основанию  (=c)называется такой показатель степени , в которую нужно возвести , чтобы получить   (то есть ). При этом задаются ограничения: . Значение логарифма может быть любым.

Вычислите:

,   .

1. Действуем по определению. Подберем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 27.

.

2. При возведении , значит .

Ответ: 3; -3.

Изобретенные в 17 веке для ускорения вычислений, логарифмы значительно сократили время, необходимое для умножения многозначных чисел.

Они были основными в числовой работе более 300 лет, пока совершенство механических вычислительных машин в конце 19 века и компьютеров в 20 веке не сделали их устаревшими для крупномасштабных вычислений. Однако натуральный логарифм (с основанием e ≅ 2.

71828 и записываемый как ln n) продолжает оставаться одной из наиболее полезных функций в математике с приложениями к математическим моделям в физических и биологических науках.

Логарифмическая функция и ее график

Помня об ограничениях, построим по точкам графики логарифмической функция в разных случаях.

Пусть .  Подставим вместо разные числа и определим соответствующие значения переменной.

Отметим координаты точек на плоскости и соединим их плавной линией.

Логарифмическая функция все время возрастает.

Такое поведение характерно для всех логарифмических функций с основанием больше единицы.

Пусть теперь . Составим таблицу значений для этого случая.

Получим следующий график функции:

Все логарифмические функции с основанием от 0 до 1 убывают на всей области определения.

Графики всех логарифмических функций проходят через точку с координатами (1;0).

Особыми знаками принято обозначать логарифмы с основанием десять   и логарифмы с натуральным основанием .

История логарифмов

Изобретению логарифмов предшествовало сравнение арифметических и геометрических последовательностей.

В геометрической последовательности каждый член образует постоянное соотношение (знаменатель прогрессии) с предыдущим и последующим членами прогрессии: например,… 1/1000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1000… имеет общее отношение 10. В арифметической последовательности каждый последующий член отличается на константу, известную как разность прогрессии, например,… −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3… имеет разность 1.

Обратите внимание, что геометрическая последовательность может быть записана в терминах ее общего отношения, для приведенной выше примерной геометрической последовательности:… 10−3, 10 −2, 10 −1, 10 0, 10 1, 10 2, 10 3….

Умножение двух чисел в геометрической последовательности, скажем, 1/10 и 100, равно суммированию соответствующих показателей степеней с основанием 10: -1 и 2, чтобы получить 10 1 = 10. Таким образом, умножение преобразуется в сложение.

Однако первоначальное сравнение между двумя возможностями вычислений произведения не было основано на каком-либо явном использовании экспоненциальной записи: это было последующее развитие.

В 1620 году в Праге швейцарским математиком Йостом Бурги была опубликована первая таблица, основанная на концепции соотношения геометрических и арифметических последовательностей.

Шотландский математик Джон Непер опубликовал свое открытие логарифмов в 1614 году. Его целью было помочь в умножении величин, которые были связаны с вычислением синуса в прямоугольном треугольнике.

Вычисления Непера и Бригса

В сотрудничестве с английским математиком Генри Бригсом Непер приспособил свой логарифм к его современной форме.

Для неперова логарифма сравнение будет происходить между точками, движущимися по градуированной прямой линии, точка L (для логарифма) движется равномерно от минус бесконечности до плюс бесконечности, точка Х (для синуса) движется от нуля до бесконечности со скоростью пропорционально его расстоянию от нуля. Кроме того, L равно нулю, когда X равно единице, и их скорость в этой точке равна.

Суть открытия Непера состоит в том, что он связал между собой арифметические и геометрические прогрессии — то есть умножение и возведение в степень значений точки X соответствуют сложению и умножению значений точки L соответственно. На практике удобно ограничивать движение L и X требованием, чтобы L = 1 при X = 10, в дополнение к условию, что X = 1 при L = 0. Это изменение привело к бригиану, или общему логарифму.

Непер умер в 1617 году, а Бригс продолжил расчеты в одиночку, опубликовав в 1624 году таблицу логарифмов, рассчитанную до 14 знаков после запятой для чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги появилось только в 1857 году в Берлине.

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — логарифмические линейки были незаменимы в инженерных расчетах.

Современное определение логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Где используются логарифмы

Некоторые области науки, где применяются логарифмы:

  • Децибелы, используемые для измерения звукового давления, определяются с помощью логарифмов.
  • Шкала Рихтера, которая используется для измерения интенсивности землетрясений, определяется с помощью логарифмов
  • Значения pH в химии, которое используется для определения уровня кислотности вещества, также определяется с использованием понятия логарифма.
  • Когда две измеренные величины оказываются связанными степенной функцией, параметры функции могут быть оценены с использованием логарифмов.
  • Логарифмы могут быть использованы для решения уравнений, таких как 2х = 3.

Решение логарифмических уравнений

Рассмотрим простейшие логарифмические уравнения и примеры их решения.

Задание 1

Решите уравнение log5(x2+x)=log5(x2+9)

Ответ:9

Решение: Так как основания логарифмов одинаковы, то числа, стоящие под знаком логарифмов — одинаковы:

,

Задание 2

Решите уравнение logx-5 49 = 2.

Если уравнение с логарифмами имеет более одного корня, в ответе укажите наибольший из них.

Ответ: 12

Решение:

(x – 5)2 = 49;

x2 – 10 x + 25 = 49;

x2 – 10 x – 24 = 0;

a = 1 , b = -10, c = -24;

При х = –2 основание логарифма отрицательно (известно, что основание должно быть положительным). Решением является корень 12. Сделайте проверку.

Задание 3

Найдите корень уравнения log2(4 – x) = 7.

Ответ:-124

Решение:

27 = 4 – x;

128=4-х;

х = 4 – 128;

х = −124.

Задание 4

Найдите корень уравнения .

Ответ: 115

Решение: 27=33, тогда

или или  уравнения с логарифмами. По основному свойству логарифмов: при возведении числа в степень логарифма с таким же основанием, остается число, стоящее под знаком логарифма, то есть: . Тогда получим: .

Решая данное уравнение, получим: ,

.

Задание 5

Решите уравнение logx+725 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наименьший из них.

Ответ: -2

Решение: .

,  .

и

и

Так как x должен быть больше -7, то корень  не подходит. И остается один единственный корень: .

Таким образом, уже не важно — наибольший это корень или наименьший, он один подходит. Поэтому в ответе указываем его.

Задание 6

Решите уравнение log2(2 – x) = log2(2 – 3x) + 1

Ответ: x=0,4.

Решение: мы знаем, что , тогда пусть в нашем случае : ,

применяя свойство сложения двух логарифмов с одинаковыми основаниями, получим:

или

.

Задание 7

Решите уравнение log5(7 – x) = log5(3 – x) + 1

Ответ: 2

Решение: мы знаем, что , тогда пусть в нашем случае : .

применяя свойство сложения двух логарифмов с одинаковыми основаниями, получим:

.

Задание 8

Найдите корень уравнения

Ответ: x=-1

Решение:

.

так как у нас должно выполняться условие:

, откуда , таким образом нам подходит только один корень .

Итак, мы рассмотрели решение логарифмических уравнений с подробным решением каждого из них. Вы узнали, что такое логарифм, историю возникновения логарифма и имена ученых, которые схватили идею расчета произведения через сложение и изобрели логарифм, который на многие годы облегчил расчеты инженеров, строителей, ученых.

Источник: https://novstudent.ru/logarifmicheskie-uravneniya/

Вопросы адвокату
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: