Как считать производную функции. Что такое производная

Найти производную: алгоритм и примеры решений

Как считать производную функции. Что такое производная

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции.

Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

.

Из таблицы производных выясняем, что производная «икса» равна единице, а производная синуса — косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200…), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто
2. Производная независимой переменной. Чаще всего «икса». Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго
3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни.
4. Производная переменной в степени -1
5. Производная квадратного корня
6. Производная синуса
7. Производная косинуса
8. Производная тангенса
9. Производная котангенса
10. Производная арксинуса
11. Производная арккосинуса
12. Производная арктангенса
13. Производная арккотангенса
14. Производная натурального логарифма
15. Производная логарифмической функции
16. Производная экспоненты
17. Производная показательной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны, т.е.

Правило 2. Если функции

и

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой. 

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

и

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций».

Здесь же (далее) — более простые примеры на производную произведения и частного, на которых Вы увереннее освоите алгоритмы вычислений.

Замечание.

Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u'v, в котором u — число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями».

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».

Пошаговые примеры — как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус.

В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль.

Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную «икса». Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями».

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций».

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на :

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Найти производные самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 7. Найти производную функции

.

Правильное решение и ответ.

Пример 8. Найти производную функции

.

Правильное решение и ответ.

Пример 10. Найти производную функции

.

Правильное решение и ответ.

Пример 11. Найти производную функции

.

Правильное решение и ответ.

Продолжаем искать производные вместе

Пример 12. Найти производную функции

.

Решение. Применяя правила вычисления производной алгебраической суммы функций, вынесения постоянного множителя за знак производной и формулу производной степени (в таблице производных — под номером 3), получим

.

Пример 13. Найти производную функции

Решение. Применим правило дифференцирования произведения, а затем найдём производные сомножителей, так же, как в предыдущей задаче, пользуясь формулой 3 из таблицы производных. Тогда получим

Пример 14. Найти производную функции

Решение. Как и в примерах 4 и 6, применим правило дифференцирования частного:

Теперь вычислим производные в числителе и перед нами уже требуемый результат:

Пример 15.Найти производную функции

Шаг1. Применяем правило дифференцирования суммы:

Шаг2. Найдём производную первого слагаемого. Это табличная производная квадратного корня (в таблице производных — номер 5):

Шаг3. В частном знаменатель — также корень, только не квадратный. Поэтому преобразуем этот корень в степень:

и далее дифференцируем частное, не забывая, что число 2 в первом слагаемом числителя — это константа, производная которой равна нулю, и, следовательно всё первое слагаемое равно нулю:

Корень из константы, как не трудно догадаться, является также константой, а производная константы, как мы знаем из таблицы производных, равна нулю:

,

а производная, требуемая в условии задачи:

Правила вычисления производных

Как считать производную функции. Что такое производная

7 апреля 2011

  • Материалы к уроку
  • Скачать все правила

Если следовать определению, то производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx:

Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f(x) = x2 + (2x + 3) · ex · sin x. Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.

Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.

Производные элементарных функций

Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.

Итак, производные элементарных функций:

НазваниеФункцияПроизводная
Константаf(x) = C, C ∈ R0 (да-да, ноль!)
Степень с рациональным показателемf(x) = xnn · xn − 1
Синусf(x) = sin xcos x
Косинусf(x) = cos x− sin x (минус синус)
Тангенсf(x) = tg x1/cos2 x
Котангенсf(x) = ctg x− 1/sin2 x
Натуральный логарифмf(x) = ln x1/x
Произвольный логарифмf(x) = loga x1/(x · ln a)
Показательная функцияf(x) = exex (ничего не изменилось)

Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:

(C · f)’ = C · f ’.

В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:

(2×3)’ = 2 · (x3)’ = 2 · 3×2 = 6×2.

Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.

Производная суммы и разности

Пусть даны функции f(x) и g(x), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:

  1. (f + g)’ = f ’ + g ’
  2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, (f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g, и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.

Задача. Найти производные функций: f(x) = x2 + sin x; g(x) = x4 + 2×2 − 3.

Функция f(x) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:

f ’(x) = (x2 + sin x)’ = (x2)’ + (sin x)’ = 2x + cos x;

Аналогично рассуждаем для функции g(x). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):

g ’(x) = (x4 + 2×2 − 3)’ = (x4 + 2×2 + (−3))’ = (x4)’ + (2×2)’ + (−3)’ = 4×3 + 4x + 0 = 4x · (x2 + 1).

Ответ:
f ’(x) = 2x + cos x;
g ’(x) = 4x · (x2 + 1).

Производная произведения

Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения strike»>равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.

Задача. Найти производные функций: f(x) = x3 · cos x; g(x) = (x2 + 7x − 7) · ex.

Функция f(x) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:

f ’(x) = (x3 · cos x)’ = (x3)’ · cos x + x3 · (cos x)’ = 3×2 · cos x + x3 · (− sin x) = x2 · (3cos x − x · sin x)

У функции g(x) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g(x) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:

g ’(x) = ((x2 + 7x − 7) · ex)’ = (x2 + 7x − 7)’ · ex + (x2 + 7x − 7) · (ex)’ = (2x + 7) · ex + (x2 + 7x − 7) · ex = ex · (2x + 7 + x2 + 7x −7) = (x2 + 9x) · ex = x(x + 9) · ex.

Ответ:
f ’(x) = x2 · (3cos x − x · sin x);
g ’(x) = x(x + 9) · ex.

Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.

Производная частного

Если есть две функции f(x) и g(x), причем g(x) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h(x) = f(x)/g(x). Для такой функции тоже можно найти производную:

Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g2? А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.

Задача. Найти производные функций:

В числителе и знаменателе каждой дроби стоят элементарные функции, поэтому все, что нам нужно — это формула производной частного:

По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:

Ответ:

Производная сложной функции

Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию f(x) = sin x и заменить переменную x, скажем, на x2 + ln x. Получится f(x) = sin (x2 + ln x) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.

Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции:

f ’(x) = f ’(t) · t ’, если x заменяется на t(x).

Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.

Задача. Найти производные функций: f(x) = e2x + 3; g(x) = sin (x2 + ln x)

Заметим, что если в функции f(x) вместо выражения 2x + 3 будет просто x, то получится элементарная функция f(x) = ex. Поэтому делаем замену: пусть 2x + 3 = t, f(x) = f(t) = et. Ищем производную сложной функции по формуле:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (et)’ · t ’ = et · t ’

А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: t = 2x + 3. Получим:

f ’(x) = et · t ’ = e2x + 3 · (2x + 3)’ = e2x + 3 · 2 = 2 · e2x + 3

Теперь разберемся с функцией g(x). Очевидно, надо заменить x2 + ln x = t. Имеем:

g ’(x) = g ’(t) · t ’ = (sin t)’ · t ’ = cos t · t ’

Обратная замена: t = x2 + ln x. Тогда:

g ’(x) = cos (x2 + ln x) · (x2 + ln x)’ = cos (x2 + ln x) · (2x + 1/x).

Вот и все! Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы.

Ответ:
f ’(x) = 2 · e2x + 3;
g ’(x) = (2x + 1/x) · cos (x2 + ln x).

Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.

Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:

(xn)’ = n · xn − 1

Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x0,5. А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.

Задача. Найти производную функции:

Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:

f(x) = (x2 + 8x − 7)0,5.

Теперь делаем замену: пусть x2 + 8x − 7 = t. Находим производную по формуле:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t0,5)’ · t ’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Делаем обратную замену: t = x2 + 8x − 7. Имеем:

f ’(x) = 0,5 · (x2 + 8x − 7)−0,5 · (x2 + 8x − 7)’ = 0,5 · (2x + 8) · (x2 + 8x − 7)−0,5.

Наконец, возвращаемся к корням:

Ответ:

Источник: https://www.berdov.com/docs/fluxion/rules/

Правила вычисления производных. Таблица производных часто встречающихся функций. Таблица производных сложных функций

Как считать производную функции. Что такое производная

Справочник по математикеЭлементы математического анализаПроизводная функции

     Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.

      Правило 1 (производная от произведения числа на функцию). Справедливо равенство

(c f (x))' = c f ' (x) ,

где  c – любое число.

      Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.

      Правило 2 (производная суммы функций). Производная суммы функций вычисляется по формуле

(f (x) + g (x))' = f ' (x) + g' (x),

то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

      Правило 3 (производная разности функций). Производная разности функций вычисляется по формуле

(f (x) – g (x))' = f ' (x) – g' (x),

то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.

      Правило 4 (производная произведения двух функций). Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

(f (x) g (x))' =
= f ' (x) g (x) + f (x) g' (x),

      Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

      Правило 5 (производная частного двух функций). Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле

      Определение. Рассмотрим функции   f (x)   и   g (x) .  Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида

f (g (x))

При этом функцию   f (x)   называют внешней функцией, а функцию   g (x)  – внутренней функцией.

      Правило 6 (производная сложной функции). Производная сложной функции вычисляется по формуле

[ f (g (x))]' = f ' (g (x)) g' (x)

      Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции   f (g (x))   в точке   x   нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке   g (x) ,   на производную внутренней функции, вычисленную в точке   x .

Таблица производных часто встречающихся функций

      В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

ФункцияФормула для производнойНазвание формулы
y = c ,где  c – любое числоy' = 0Производная от постоянной функции
y = x c ,где  c – любое числоy' = c xc – 1Производная степенной функции
y = e xy' = e xПроизводная от экспоненты (показательной функции с основанием   e)
y = a xгде  a – любое положительное число, не равное 1y' = a x ln aПроизводная от показательной функции с основанием   a
y = ln x ,   x > 0,   x > 0Производная от натурального логарифма
y = log a x ,   x > 0где  a – любое положительное число, не равное 1,   x > 0Производная от логарифма по основанию   a
y = sin xy' = cos xПроизводная синуса
y = cos xy' = – sin xПроизводная косинуса
y = tg x , ,Производная тангенса
y = ctg x , ,Производная котангенса
y = arcsin x ,Производная арксинуса
y = arccos x ,Производная арккосинуса
y = arctg xПроизводная арктангенса
y = arcctg xПроизводная арккотангенса
Производная от постоянной функции
Функция:y = c ,где  c – любое числоФормула для производной:y' = 0
Производная степенной функции
Функция:y = x c ,где  c – любое числоФормула для производной:y' = c xc – 1
Производная от экспоненты (показательной функции с основанием   e)
Функция:y = e xФормула для производной:y' = e x
Производная от показательной функции с основанием   a
Функция:y = a xгде  a – любое положительное число, не равное 1Формула для производной:y' = a x ln a
Производная от натурального логарифма
Функция:y = ln x ,   x > 0Формула для производной:,   x > 0
Производная от логарифма по основанию   a
Функция:y = log a x ,   x > 0где  a – любое положительное число, не равное 1Формула для производной:,   x > 0
Производная синуса
Функция:y = sin xФормула для производной:y' = cos x
Производная косинуса
Функция:y = cos xФормула для производной:y' = – sin x
Производная тангенса
Функция:y = tg x ,гдеФормула для производной: ,
Производная котангенса
Функция:y = ctg x ,гдеФормула для производной: ,
Производная арксинуса
Функция:y = arcsin x ,Формула для производной:
Производная арккосинуса
Функция:y = arccos x ,Формула для производной:
Производная арктангенса
Функция:y = arctg xФормула для производной:
Производная арккотангенса
Функция:y = arcctg xФормула для производной:

Таблица производных сложных функций

      В следующей таблице приведены формулы для производных сложных функций.

      В отдельных строках (с желтым фоном) приведены формулы для производных сложных функций в случае, когда внутренняя функция является линейной функцией и имеет вид   f (x) = kx + b , где  k  и  b  – любые числа, .

ФункцияФормула для производной
y = (kx + b) c ,где  c – любое число.y' = kc (kx + b) c – 1 ,
y = ( f (x)) c ,где  c – любое число.
y = ekx + by = kekx + b
y = e f (x)
y = akx + bгде  a – любое положительное число, не равное 1
y = a f (x)где  a – любое положительное число, не равное 1
y = ln (kx + b) ,   kx + b > 0,kx + b > 0
y = ln ( f (x)) ,   f (x) > 0,f (x) > 0
y = log a (kx + b) ,   kx + b > 0где  a – любое положительное число, не равное 1,   kx + b > 0
y = log a ( f (x)) ,   f (x) > 0где  a – любое положительное число, не равное 1,   f (x) > 0
y = sin (kx + b)y' = k cos (kx + b)
y = sin ( f (x))
y = cos (kx + b)y' = – k sin (kx + b)
y = cos ( f (x))
y = tg (kx + b),где,
y = tg ( f (x)),где,
y = ctg (kx + b),где ,
y = ctg ( f (x)),где ,
y = arcsin (kx + b),
y = arcsin ( f (x)),
y = arccos (kx + b),
y = arccos ( f (x)),
y = arctg (kx + b)
y = arctg ( f (x))
y = arcctg (kx + b)
y = arcctg ( f (x))
Функция:y = (kx + b) c ,где  c – любое число.Формула для производной:y' = kc (kx + b) c – 1 ,
Функция:y = ( f (x)) c ,где  c – любое число.Формула для производной:
Функция:y = ekx + bФормула для производной:y = kekx + b
Функция:y = e f (x)Формула для производной:
Функция:y = akx + bгде  a – любое положительное число, не равное 1Формула для производной:
Функция:y = a f (x)где  a – любое положительное число, не равное 1Формула для производной:
Функция:y = ln (kx + b) ,   kx + b > 0Формула для производной:,   kx + b > 0
Функция:y = ln ( f (x)) ,   f (x) > 0Формула для производной:,   f (x) > 0
Функция:y = log a (kx + b) ,   kx + b > 0где  a – любое положительное число, не равное 1Формула для производной:,   kx + b > 0
Функция:y = log a ( f (x)) ,   f (x) > 0где  a – любое положительное число, не равное 1Формула для производной:,   f (x) > 0
Функция:y = sin (kx + b)Формула для производной:y' = k cos (kx + b)
Функция:y = sin ( f (x))Формула для производной:
Функция:y = cos (kx + b)Формула для производной:y' = – k sin (kx + b)
Функция:y = cos ( f (x))Формула для производной:
Функция:y = tg (kx + b),гдеФормула для производной:,
Функция:y = tg ( f (x)),гдеФормула для производной:,
Функция:y = ctg (kx + b),гдеФормула для производной: ,
Функция:y = ctg ( f (x)),гдеФормула для производной: ,
Функция:y = arcsin (kx + b),Формула для производной:
Функция:y = arcsin ( f (x)),Формула для производной:
Функция:y = arccos (kx + b),Формула для производной:
Функция:y = arccos ( f (x)),Формула для производной:
Функция:y = arctg (kx + b)Формула для производной:
Функция:y = arctg ( f (x))Формула для производной:
Функция:y = arcctg (kx + b)Формула для производной:
Функция:y = arcctg ( f (x))Формула для производной:

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/matan/derivative_rule.htm

Производная функции

Как считать производную функции. Что такое производная

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.

Как найти?

Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования:

Примеры решения

Пример 1
Найти производную функции $ y = x3 — 2×2 + 7x — 1 $
Решение
Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных:$$ y' = (x3 — 2×2 + 7x — 1)' = (x3)' — (2×2)' + (7x)' — (1)' = $$Используя правило производной степенной функции $ (xp)' = px{p-1} $ имеем:$$ y' = 3x{3-1} — 2 \cdot 2 x{2-1} + 7 — 0 = 3×2 — 4x + 7 $$Так же было учтено, что производная от константы равна нулю.Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ y' = 3×2 — 4x + 7 $$
Пример 2
Найти производную функции $ y = \sin x — \ln 3x $
Решение
По правилу производной разности:$$ y' = (\sin x — \ln 3x)' = (\sin x)' — (\ln 3x)' = $$По таблице интегрирования находим:$$ (\sin x)' = \cos x $$ $$ (\ln x)' = \frac{1}{x} $$С учетом того, что аргумент натурального логарифма отличен от $ x $, то нужно домножить ещё на производную самого аргумента:$$ y' = (\sin x)' — (\ln 3x)' = \cos x — \frac{1}{3x} \cdot (3x)' = $$После упрощения получаем:$$ = \cos x — \frac{1}{3x} \cdot 3 = \cos x — \frac{1}{x} $$
Ответ
$$ y' = \cos x — \frac{1}{x} $$
Пример 3
Найти производную функции $ y = (3x-1) \cdot 5x $
Решение
В данном примере стоит произведение двух функций, а производная произведения находится по формуле номер 3: $$ (u \cdot v)' = u'v + uv' $$$$ y' = ( (3x-1) \cdot 5x )' = (3x-1)' 5x + (3x-1) (5x)' = $$Производная первой функции вычисляется как разность фунций:$$ (3x-1)' = (3x)' — (1)' = 3(x)' — (1)' = 3 $$Вторая функция является показательной, производная которой находится по формуле: $ (ax)' = ax \ln a $: $$ (5x)' = 5x \ln 5 $$Продолжаем решение с учетом найденных производных:$$ y' = (3x-1)' 5x + (3x-1) (5x)' = 3 \cdot 5x + (3x-1) 5x \ln 5 $$
Ответ
$$ y' = 3\cdot 5x + (3x-1) 5x \ln 5 $$
Пример 4
Найти производную функции $ y = \frac{\ln x}{\sqrt{x}} $
Решение
Производную дроби найдем по четвертой формуле. Положим $ u = \ln x $ и $ v = \sqrt{x} $. Тогда их производные по таблице основных элементарных функций равны:$$ u' = (\ln x)' = \frac{1}{x} $$ $$ v' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$Используя формулу №4 получаем:$$ y' = \bigg ( \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \bigg )' = \frac{ \frac{1}{x} \cdot \sqrt{x} — \ln x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} }{x} = $$Выносим множитель $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $ в числителе за скобку:$$ y' = \frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}} $$
Ответ
$$ y' = \frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}} $$
Пример 5
Найти производную функции $ y = \ln \sin 3x $
Решение
Данная функция является сложной, потому производную будем брать по цепочке. Сначала от внешней функции, затем от внутренней. При этом выполняя их перемножение.$$ y' = (\ln \sin 3x )' = \frac{1}{\sin 3x} \cdot (\sin 3x)' = $$Заметим, что аргумент синуса отличен от $ x $, поэтому тоже является сложной функцией:$$ = \frac{1}{\sin 3x} \cdot \cos 3x \cdot (3x)' = \frac{1}{\sin 3x} \cdot \cos 3x \cdot 3 $$Учитывая определение котангенса $ ctg x = \frac{\cos 3x}{\sin 3x} $ перепишем полученную производную в удобном компактном виде:$$ y' = 3ctg 3x $$
Ответ
$$ y' = 3ctg 3x $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/proizvodnuyu-funkcii-primery-reshenij.html

Урок 3: Вычисление производной

Как считать производную функции. Что такое производная

План урока:

Производные некоторых элементарных функций

Основные правила дифференцирования

Производная сложной функции

Производные некоторых элементарных функций

Ранее мы для вычисления производных использовали ее определение.

То есть каждый раз мы давали функции некоторое приращение ∆х, потом находили соответствующую ему величину ∆у, далее составляли отношение ∆у/∆х, после чего находили предел этого отношения при ∆х →0.

Выполнение такого алгоритма довольно трудоемко. Поэтому на практике используются специальные формулы для вычисления производных.

Нам известно несколько основных функций, которые в математике чаще называют элементарными. Например, элементарными являются линейная функция, степенная, показательная, логарифмическая. Также существует несколько различных тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс), которые тоже считаются элементарными. Попытаемся вычислить для них производные.

Начнем с линейной функции. В общем случае она выглядит так:

где k и b – некоторые постоянные числа.

Выберем произвольную точку х0 и дадим ей приращение ∆х, в результате чего мы придем в новую точку (х0 + ∆х). Вычислим значения линейной функции в этих двух точках:

Теперь мы можем найти приращение функции ∆у:

Находим отношение ∆у/∆х:

Получилось, что это отношение не зависит ни от приращения ∆х, ни от выбора исходной точки х0. Естественно, что предел этого отношения при ∆х→0 (то есть производная) также будет равен k:

Задание. Вычислите производную функции у = 4х + 9.

Обратите внимание, что в рассмотренном примере запись у′ = 4 означает функцию. Просто при любом значении х она принимает одно и то же значение, равное 4. График производной функции будет выглядеть так:

Рассмотрим два особых частных случая линейной функции. Пусть k = 1 и b = 0, тогда она примет вид у = х. Её производная тогда будет равна 1:

Теперь предположим, что коэффициент k = 0. Тогда функция примет вид

где С – некоторое постоянное число, то есть константа (большая буква Св таких случаях используется из-за латинского термина constanta). Производная такой функции будет равна нулю:

Задание. Найдите вторую производную функции у = 9х + 2.

Решение. Сначала вычислим первую производную:

Очень легко объяснить, почему производная константы равна нулю. Представим себе, что закон движения некоторого тела выглядит как s(t) = C, например, s(t) = 5.

Это значит, что тело в любой момент времени находится в точке, находящейся в 5 метрах от какого-то начала отсчета. То есть тело находится в одной и той же точке, а это значит, что оно не двигается. Тогда его скорость равна нулю.

Но производная – это и есть скорость, значит, она также равна нулю.

Далее вычислим производную для функции у = 1/х. Выберем некоторую точку х0 и дадим ей приращение ∆х. В результате имеем две точки с координатами х0 и (х0 + ∆х). Вычислим значение функции в каждой из них:

Осталось найти предел данного отношения при ∆х→0. Ясно, что при этом множитель х0 + ∆х будет стремится к х0, то есть

Задание. Вычислите производные функции

Обратите внимание, что производная функции у = 1/х оказывается отрицательной при любом значении х (кроме нуля, для которого производную посчитать нельзя, так как получится деление на ноль). Это должно означать, что функция убывает в каждой своей точке, а любая касательная к ней образует с осью Ох тупой угол наклона. И это действительно так:

Мы разобрали несколько простейших примеров того, как находить формулы производных. Для этого используется понятие предела функции. Для вывода всех подобных формул требуется хорошо знать тему вычисления пределов, которая не изучается детально в школе. Поэтому мы просто дадим следующие формулы без доказательств.

Начнем со степенной функции у = хn, где n– некоторое постоянное число. Её производная вычисляется по формуле:

Приведем примеры использования этой формулы:

Задание. Найдите производную функции у = х6 в точке х0 = 10.

Задание. Движение самолета при разгоне описывается законом движения s(t) = t3. Найдите его скорость через 5 секунд после начала разгона.

Решение. Скорость самолета в любой момент времени равна производнойs′(t). Найдем её:

Заметим, что используемая нами формула работает и в том случае, если показатель степени является отрицательным или дробным числом. Действительно, ранее мы вывели формулу

По определению отрицательной степени мы можем записать, что

Задание. Вычислите производную функции

Задание. Определите, в какой точке необходимо провести касательную к графику функции

чтобы она образовывала с осью Ох угол в 45°?

Решение. Тангенс угла наклона касательной равен производной. Известно, что tg 45° = 1. Значит, нам надо найти такую точку х0, в которой значение производной квадратного корня будет равно единице. Производная вычисляется по формуле:

Ответ: х0 = 0,25.

Далее изучим формулы производных для тригонометрических функций. Они выглядят так:

Рассмотрим несколько примеров использования этих формул.

Задание. Найдите производную функции у = cosx в точке х0 = π.

Решение. Мы знаем, что

Задание. Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику у = sinx в начале координат.

Решение. Производная синуса вычисляется по формуле:

Получается, что тангенс угла наклона также равен единице. Это значит, что сам угол равен 45°. Построение показывает, что это действительно так:

Задание. Найдите производную функции у = tgx в точке х0 = π/6.

Решение. Для тангенса используется формула:

Далее рассмотрим показательную и логарифмическую функцию. Их производные рассчитываются по следующим формулам:

Обратите внимание, что в этих формулах появился натуральный логарифм, то есть логарифм, основанием которого является число е. Именно из-за наличия натурального логарифма в формулах дифференцирования он играет особо важную роль в математике и имеет отдельное обозначение. Вычислим несколько производных с помощью приведенных формул:

Напомним, что справедлива формула

Стоит обратить внимание, что функции у = ех при дифференцировании не меняется. Эта особенность функции также имеет огромное значение в математическом анализе.

Задание. Найдите угол наклона касательных, проведенных к графику у = ех в точке (0; 1) и к графику у = lnx в точке (1; 0).

Решение. Используем формулы производных:

Получили, что тангенс наклона касательной равен 1. Из этого следует, что угол наклона касательной равен 45°. Далее найдем производную натурального логарифма при х = 1:

Производная снова равна 1, значит, угол наклона также составит 45°, что подтверждается рисунком:

Ответ: 45°.

Задание. Вычислите производную функции у = 2х при х0 = 3.

Решение. Используем формулу

Сведем использованные нами равенства в одну таблицу производных основных функций:

Эффективно подготовиться к ЕГЭ по математике помогут тщательно продуманные онлайн-курсы

Перейти

 

Основные правила дифференцирования

До этого мы рассматривали довольно простые, то есть стандартные функции, для каждой из которых производную можно узнать из справочника или таблицы. Но что делать, если нам потребовалось продифференцировать функцию, которая состоит из нескольких основных? Например, что делать с функциями у = 5х2 + 6х – 3 или у = x•sinx?

Все более сложные функции можно получить из нескольких простых, комбинируя их. Так, функция у = х3 + х2 получается сложением функций у = х3 и у = х2, а функция у = (lnx)•(cosx) – произведением функций у = lnx и у = сosx.

Есть несколько правил, которые позволяют находить производные в таких случаях. Мы не будем их доказывать, а просто дадим их формулировки. Также будем нумеровать правила. Первое из них помогает находить производную сумму функций.

В данном случае u и v – это просто обозначение каких-то произвольных функций. Рассмотрим пример. Пусть надо найти производную функции

Правило работает и в том случае, если сумма представляет собой сумму не двух, а большего числа слагаемых:

Следующее правило позволяет выносить постоянный множитель за знак производной:

Покажем использование этого правила:

Действительно, зная эти формулы и первые два правила вычисления производных, мы можем записать, что

Задание. Вычислите значение производной функции у = 9х3 + 7х2 – 25х + 7 в точке х0 = 1.

Решение. Пользуясь правилами дифференцирования, находим производную:

Несколько сложнее обстоит дело с дифференцированием функций, получающихся при перемножении простых функций. В таких случаях используется следующее правило:

Предположим, надо найти производную для функции у = х2•sinx. Её можно представить как произведение u•v, где

Примечание. В последнем случае мы в конце примера использовали формулу косинуса двойного угла:

Заметим, что иногда одно и то же задание с производной можно решить по-разному, используя или не используя правило для вычисления производной произведения функций.

Задание. Найдите производную функции у = х2•(3х + х3). Вычислите ее значение при х = 1.

Решение. Функция у представляет собой произведение более простых функций u•v, где

Задание. Продифференцируйте функцию

Решение. Здесь перед нами функция, которая представляет собой произведение сразу трех множителей. Что делать в таком случае? Надо всего лишь добавить скобки и их помощью оставить только два множителя (один их них окажется «сложным»):

Довольно сложно выглядит формула для поиска производной дроби:

Например, пусть надо найти производную функции

С помощью данного правила можно доказать некоторые равенства. Так, ранее мы уже записали (без доказательства) формулы производных тригонометрических функций:

Оказывается, формула для тангенса может быть выведена из формул для синуса и косинуса. Действительно, тангенс можно записать в виде дроби:

Задание. Найдите, в каких точках надо провести касательную к графику дробно-линейной функции

чтобы эта касательная образовала с осью Ох угол в 135°.

Решение. Угол будет равен 135° только тогда, когда значение производной будет равно (– 1) (так как tg 135° = – 1). Поэтому сначала найдем производную. В данном случае следует использовать правило 4, так как функция у явно записана как дробь:

Получили два значения х. Построив график и проведя касательные, мы убедимся, что они действительно образуют с осью Ох угол 135°:

Ответ: – 2 и 0.

Заметим, что иногда можно избавиться от необходимости использовать правило 4, если дифференцируемую функцию можно преобразовать. При этом часто помогает использование отрицательных степеней. Пусть надо продифференцировать функцию

Напрашивается решение использовать правило 4.И такой путь позволит получить правильное решение, хотя и будет несколько трудоемким. Однако можно преобразовать функцию:

У нас получилось произведение, а потому можно использовать правило 3, которое представляется более простым:

Вопросы адвокату
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: