Арифметическая дробь. Действия с обыкновенными дробями

Содержание
  1. Действия с дробями
  2. Сокращение дробей
  3. Наименьший общий знаменатель
  4. Обыкновенные дроби
  5. Вычитание обыкновенной дроби из целого числа
  6. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
  7. Нахождение общего знаменателя
  8. Умножение обыкновенных дробей
  9. Деление обыкновенных дробей
  10. Действия с дробями: правила, примеры, решения
  11. Правила выполнения действий с числовыми дробями общего вида
  12. Обоснование правил
  13. Примеры
  14. Выполнение действие с дробями, содержащими переменные
  15. Примеры сложения и вычитания дробей с переменными
  16. Примеры умножения дробей с переменными
  17. Деление
  18. Возведение в степень
  19. Порядок выполнения действий с дробями
  20. Алгебра. Урок 1. Числа и вычисления
  21. Действия с дробями
  22. Действия со степенями
  23. Задание №6 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.
  24. Конспект по математике
  25. Правильная и неправильная дробь
  26. Определение. Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной
  27. Сравнение дробей
  28. Сложение и вычитание дробей
  29.  Умножение дробей
  30.  Деление дробей
  31. Нахождение части от целого (дроби от числа)
  32. Нахождение целого по его части (числа по его дроби)

Действия с дробями

Арифметическая дробь. Действия с обыкновенными дробями

  • Как сократить дробь?
  • Как привести дроби к общему знаменателю?
  • Как сложить, вычесть, умножить или разделить дроби?

Тема этой статьи может показаться простой, ведь речь пойдет о вещах, которые должны быть известны с 5–6 класса. Однако многие старшеклассники и даже студенты неуверенно себя чувствуют, когда приходится работать с дробями.

В некоторых случаях человек ловко использует аппарат дифференциального исчисления для поиска экстремума, но потом не справляется со сравнением двух дробей при определении максимума функции.

Вычисление выражений вроде (414−2)⋅623(4 \frac{1}{4}-2)\cdot 6 \frac{2}{3}(441​−2)⋅632​ у многих вызывает сложности.

Для того чтобы уверенно себя чувствовать на экзамене, необходимо уметь выполнять все упражнения, встречающиеся в этой главе. Речь пойдет о сокращении дробей, а также их сложении, вычитании, умножении и делении.

Если вы не очень уверенно себя чувствуете, когда речь заходит о различных видах дробей (обыкновенные, смешанные, десятичные и т.д.), или не помните, что такое числитель или знаменатель дроби, то прочитайте статью “Дроби – справочная информация”.

Сокращение дробей

Числитель и знаменатель дроби можно разделить или умножить на одно и то же число. Дробь, которую мы при этом получим, равна исходной дроби.

Когда мы делим числитель и знаменатель на одно и то же число, чтобы дробь стала проще, мы занимаемся сокращением дробей.

Сократим дробь 1015\frac{10}{15}1510​.
Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на 555.
1015=2⋅53⋅5=23\frac{10}{15}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=\frac{2}{3}1510​=3⋅52⋅5​=32​

Перед тем как приступать к действиям с дробями, их бывает полезно сократить. Также постарайтесь сокращать слишком страшные дроби, которые получаются во время промежуточных вычислений.

Чтобы сократить дробь ab\frac{a}{b}ba​, нужно вычислить наибольший общий делитель НОД(a,b)\text{НОД}(a,b)НОД(a,b) и поделить на него числитель и знаменатель дроби.

Для того чтобы вычислить НОД\text{НОД}НОД двух чисел, используют алгоритм Евклида. Однако на практике гораздо проще постепенно делить (сокращать) числитель и знаменатель на общие делители, которые ищутся с помощью признаков делимости.

Например, можно заметить, что в дроби 2466\frac{24}{66}6624​ числитель и знаменатель – четные числа. Поэтому на 222 эту дробь точно можно сократить: 2466=1233\frac{24}{66}=\frac{12}{33}6624​=3312​. Теперь можно увидеть, что оба числа делятся на 333. Сокращаем дальше: 1233=411\frac{12}{33}=\frac{4}{11}3312​=114​. Получили несократимую дробь.

Дробь ab\frac{a}{b}ba​ является несократимой, если НОД(a,b)=1\text{НОД}(a,b)=1НОД(a,b)=1.

Сократите 3045\frac{30}{45}4530​. В ответе запишите обыкновенную дробь (через / ).

Сократите 8517\frac{85}{17}1785​.

Нет ничего проще, чем сложение дробей с одинаковым знаменателем.

Сложить 27\frac{2}{7}72​ и 37\frac{3}{7}73​ — это все равно, что сложить 222 куска торта, разрезанного на 777 частей, и 333 куска того же торта. Получится 2+3=52+3=52+3=5 кусков торта, или 57\frac{5}{7}75​.

Вычислите 35−15\frac{3}{5}-\frac{1}{5}53​−51​. В ответе запишите обыкновенную дробь (через / ).

Сложение дробей с разными знаменателями — это уже задачка посложнее. Как можно сложить, например, кусок пиццы, порезанной на 555 частей, с куском пиццы, порезанной на 444 части? Иными словами, как сложить 15\frac{1}{5}51​ пиццы и 14\frac{1}{4}41​ пиццы? Какую часть целой пиццы мы в результате получим?

Для того чтобы это сделать, необходимо порезать пиццу на еще меньшие куски. Если мы возьмем пиццу с 5⋅4=205\cdot 4=205⋅4=20 кусками, то ее 444 куска будут равны 15\frac{1}{5}51​, а 555 кусков — 14\frac{1}{4}41​ целой пиццы. Получается, что 15+14=420+520=920\frac{1}{5}+\frac{1}{4}=\frac{4}{20}+\frac{5}{20}=\frac{9}{20}51​+41​=204​+205​=209​.

То есть сначала необходимо выбрать общий знаменатель, затем привести дроби к этому знаменателю, а затем сложить числители этих дробей.

Общий знаменатель — это такое число, которое делится на каждый из знаменателей складываемых (или вычитаемых) дробей.

Например, произведение знаменателей всегда делится на каждый из знаменателей.

Найдите произведение знаменателей дробей 27\frac{2}{7}72​ и 34\frac{3}{4}43​.

Найдите произведение знаменателей дробей 15\frac{1}{5}51​ и 43\frac{4}{3}34​.

Найдите произведение знаменателей дробей 26\frac{2}{6}62​ и 32\frac{3}{2}23​.

Как же теперь привести дроби 27\frac{2}{7}72​ и 34\frac{3}{4}43​ к знаменателю 282828?

Вспоминаем, что если умножить и числитель, и знаменатель дроби на одно и то же число, то значение дроби не изменится. Например, 15\frac{1}{5}51​ и 210\frac{2}{10}102​ — это одно и тоже число.

То есть нужно домножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы в знаменателе получился общий знаменатель дробей (в случае дробей 27\frac{2}{7}72​ и 34\frac{3}{4}43​ — число 282828).

Числитель и знаменатель дроби 27\frac{2}{7}72​ нужно умножить на 444:

27=2⋅47⋅4=828\frac{2}{7}=\frac{2\cdot 4}{7\cdot 4}=\frac{8}{28}72​=7⋅42⋅4​=288​,

— а числитель и знаменатель 34\frac{3}{4}43​ — на 777:

34=3⋅74⋅7=2128\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 7}{4\cdot 7}=\frac{21}{28}43​=4⋅73⋅7​=2821​.

Теперь можно без труда сложить получившиеся дроби: 828+2128=2928=1128\frac{8}{28}+\frac{21}{28}=\frac{29}{28}=1 \frac{1}{28}288​+2821​=2829​=1281​.

Общая формула, которой можно пользоваться для сложения дробей: ab+cd=ad+bcbd\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}ba​+dc​=bdad+bc​

Пользуясь этой формулой, мы получим, что 13+16=1⋅6+3⋅13⋅6=918\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1\cdot 6+3\cdot 1}{3\cdot 6}=\frac{9}{18}31​+61​=3⋅61⋅6+3⋅1​=189​. Как мы видим, эту дробь можно сократить на 999. Получится 12\frac{1}{2}21​.

Наименьший общий знаменатель

Можно ли сразу получить дробь, которую не надо было бы сокращать, то есть дробь с наименьшим возможным знаменателем?

Да, можно! Для этого вместо перемножения знаменателей необходимо вычислить их наименьшее общее кратное. То есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя. Наименьшее общее кратное чисел bbb и ddd обозначается НОК(b,d)\text{НОК}(b,d)НОК(b,d).

Например:

НОК(3,6)=6\text{НОК}(3,6)=6НОК(3,6)=6

НОК(10,15)=30\text{НОК}(10,15)=30НОК(10,15)=30.

Для того чтобы вычислить НОК, требуется разложить числа на простые множители, а затем для каждого простого делителя, который входит в разложение хотя бы одного из чисел, выбрать максимальную степень, в которой он входит в разложения.

Например, чтобы вычислить НОК(45,30)\text{НОК}(45,30)НОК(45,30), разложим числа на множители:
45=3⋅3⋅545=3\cdot 3\cdot 545=3⋅3⋅5,
30=2⋅3⋅530=2\cdot 3\cdot 530=2⋅3⋅5.
Число 333 входит в разложения в максимальной степени 222, а числа 222 и 555 — в степени 111. Поэтому НОК равно 2⋅32⋅5=902\cdot 32\cdot 5=902⋅32⋅5=90.

Найдите наименьший общий знаменатель для дробей 38\frac{3}{8}83​ и 512\frac{5}{12}125​.

Найдите наименьший общий знаменатель для дробей 25\frac{2}{5}52​ и 76\frac{7}{6}67​.

Найдите наименьший общий знаменатель для дробей 285\frac{2}{85}852​ и 1817\frac{18}{17}1718​.

После того как общий знаменатель найден, нужно привести дроби к этому знаменателю. То есть домножить числитель и знаменатель каждой дроби на такое число, что в знаменателе получится общий знаменатель.

Например, для дробей 845\frac{8}{45}458​ и 730\frac{7}{30}307​ общий знаменатель равен 909090. Чтобы получить в знаменателе 909090, число 454545 нужно умножить на 222, а число 303030 — на 333. Получим:

845+730=8⋅290+7⋅390=16+2190=3790\frac{8}{45}+\frac{7}{30}=\frac{8\cdot 2}{90}+\frac{7\cdot 3}{90}=\frac{16+21}{90}=\frac{37}{90}458​+307​=908⋅2​+907⋅3​=9016+21​=9037​.

В общем виде этот подход можно описать так.

Чтобы сложить дроби ab\frac{a}{b}ba​ и cd\frac{c}{d}dc​, вычислите НОК(b,d)\text{НОК}(b,d)НОК(b,d) и числа b1=НОК(b,d)bb_1=\frac{\text{НОК}(b,d)}{b}b1​=bНОК(b,d)​ и d1=НОК(b,d)dd_1=\frac{\text{НОК}(b,d)}{d}d1​=dНОК(b,d)​.

Тогда ab+cd=a⋅b1b⋅b1+c⋅d1d⋅d1=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot b_1}{b\cdot b_1}+\frac{c\cdot d_1}{d\cdot d_1}=ba​+dc​=b⋅b1​a⋅b1​​+d⋅d1​c⋅d1​​==ab1НОК(b,d)+cd1НОК(b,d)=ab1+cd1НОК(b,d)=\frac{ab_1}{\text{НОК}(b,d)}+\frac{cd_1}{\text{НОК}(b,d)}=\frac{ab_1+cd_1}{\text{НОК}(b,d)}=НОК(b,d)ab1​​+НОК(b,d)cd1​​=НОК(b,d)ab1​+cd1​​

То, что написано выше, выглядит сложно, однако при достаточной тренировке этот метод сложения является самым эффективным.

Найдите сумму дробей 718\frac{7}{18}187​ и 724\frac{7}{24}247​. В ответе запишите обыкновенную дробь (через / ).

Найдите сумму дробей 913\frac{9}{13}139​ и 139\frac{1}{39}391​. В ответе запишите обыкновенную дробь (через / ).

Найдите сумму дробей 334\frac{3}{34}343​ и 910\frac{9}{10}109​. В ответе запишите обыкновенную дробь (после сокращения, через / ).

Умножать и делить дроби проще, чем складывать и вычитать.

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители, перемножить их знаменатели, а затем поделить первое произведение на второе:ab⋅cd=a⋅cb⋅d\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}ba​⋅dc​=b⋅da⋅c​

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно вторую дробь сначала “перевернуть”, а затем перемножить первую дробь и перевернутую вторую дробь:ab÷cd=ab⋅dc=a⋅db⋅c\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}ba​÷dc​=ba​⋅cd​=b⋅ca⋅d​

Найдите произведение 611\frac{6}{11}116​ и 23\frac{2}{3}32​. В ответе запишите обыкновенную дробь (после сокращения, через / ).

Перед умножением и делением дроби лучше сокращать, чтобы работать с меньшими числами. При этом сокращать дроби можно и “по диагонали” (перед умножением): сокращать числитель одной дроби со знаменателем другой дроби.

Рассмотрим произведение 611⋅23\frac{6}{11}\cdot\frac{2}{3}116​⋅32​. Числитель первой дроби и знаменатель второй дроби делятся на 333. Отсюда:

611⋅23=3⋅211⋅23⋅1=211⋅21=2⋅211⋅1=411\frac{6}{11}\cdot\frac{2}{3}=\frac{3\cdot 2}{11}\cdot\frac{2}{3\cdot 1}=\frac{2}{11}\cdot\frac{2}{1}=\frac{2\cdot 2}{11\cdot 1}=\frac{4}{11}116​⋅32​=113⋅2​⋅3⋅12​=112​⋅12​=11⋅12⋅2​=114​.

Приведем еще один пример. Пусть нам надо умножить 3539\frac{35}{39}3935​ на 2625\frac{26}{25}2526​.

Если решать этот пример “в лоб”, придется найти произведения 35⋅2635\cdot 2635⋅26 и 39⋅2539\cdot 2539⋅25, а делать это очень не хочется.

Зато можно заметить, что числитель первой дроби и знаменатель второй дроби делятся на 555, а числитель второй дроби и знаменатель первой дроби делятся на 131313. Сократим дроби перед умножением:

3539⋅2625=5⋅73⋅13⋅2⋅135⋅5=73⋅25=7⋅23⋅5=1415\frac{35}{39}\cdot \frac{26}{25}=\frac{5\cdot 7}{3\cdot 13}\cdot\frac{2\cdot 13}{5\cdot 5}=\frac{7}{3}\cdot\frac{2}{5}=\frac{7\cdot 2}{3\cdot 5}=\frac{14}{15}3935​⋅2526​=3⋅135⋅7​⋅5⋅52⋅13​=37​⋅52​=3⋅57⋅2​=1514​

Вычислите 13÷16\frac{1}{3}\div \frac{1}{6}31​÷61​.

Вычислите 2324÷4636\frac{23}{24}\div\frac{46}{36}2423​÷3646​.

А как умножить, например, 3233 \frac{2}{3}332​ на 1271 \frac{2}{7}172​?

Если вам даны смешанные дроби, всегда преобразовывайте их в неправильные простые дроби, прежде чем умножать, делить, возводить в степень или извлекать корень.

323⋅127=113⋅97=9921=337=4573 \frac{2}{3} \cdot 1 \frac{2}{7}= \frac{11}{3} \cdot \frac{9}{7}=\frac{99}{21}=\frac{33}{7}=4 \frac{5}{7}332​⋅172​=311​⋅79​=2199​=733​=475​.

Перемножьте 1121 \frac{1}{2}121​ и 1131 \frac{1}{3}131​.

Многие школьники, пренебрегая этим простым правилом, совершают ошибки в примерах, подобных этому: 449÷494 \frac{4}{9}\div \frac{4}{9}494​÷94​.

В таком примере возникает желание срезать углы, сократить что-нибудь раньше времени.

А какой ответ в примере 449÷494 \frac{4}{9}\div \frac{4}{9}494​÷94​ на самом деле правильный?

Источник: https://lampa.io/p/%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F-%D1%81-%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B1%D1%8F%D0%BC%D0%B8-000000000244b193351cbbe5556c10c8

Обыкновенные дроби

Арифметическая дробь. Действия с обыкновенными дробями
Определение

Обыкновенная дробь – это запись числа в виде:

где число a называют числителем, а число b – знаменателем дроби.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь.

Пример №1. У первой дроби  можно разделить числитель и знаменатель на одно и то же число 14, и получится равная ей дробь. Или как у второй дроби  можно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, допустим, на 5.

Основное свойство дроби в основном применяют при сокращении обыкновенных дробей. Обыкновенные дроби бывают сократимые и несократимые.

  • Сократимые – это дроби, у которых числитель и знаменатель делятся на одно и то же число.
  • Несократимые – это дроби, у которых числитель и знаменатель не имеют общих делителей.

Сокращение дробей

Сократить дробь – значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же число.

Пример №2. Чтобы сократить данную дробь надо вспомнить признаки делимости и увидеть, что числитель и знаменатель дроби — четные числа, значит, их можно разделить на 2, то есть дробь сокращается на 2:

Пример №3. По признаку делимости числитель и знаменатель делятся на 5, значит, сокращается данная дробь на 5.

Сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями

При сложении (вычитании) обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями нужно знаменатель оставить тем же, а числители сложить (вычесть). Если дроби смешанные, то отдельно складывают (вычитают) целые части.

Пример №4.

Решения можно записывать короче, выполняя устно сложение или вычитание целых частей, а также – числителей.

Вычитание обыкновенной дроби из единицы

Чтобы вычесть дробь из единицы, нужно единицу представить в виде неправильной дроби, числитель и знаменатель которой равны знаменателю вычитаемой дроби.

Пример №5. Представляем единицу в виде дроби и получаем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями (числители можно вычесть устно).

Вычитание обыкновенной дроби из бóльшего числа

Чтобы вычесть обыкновенную дробь из числа, большего 1, необходимо представить эту дробь в виде смешанного числа, числитель и знаменатель которой равны также знаменателю вычитаемой дроби.

Пример №6.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями требует предварительного приведения дробей к общему знаменателю. Существуют несколько приемов, которыми можно воспользоваться для нахождения общего знаменателя.

Нахождение общего знаменателя

Наименьшее общее кратное. Приём №1.

Наименьшее общее кратное (НОК) – это наименьшее число, которое делится без остатка на данные знаменатели одновременно. Обычно его находят устно при выполнении действий с дробями.

Правило нахождения НОК рассмотрим на примере чисел 12 и 15. Пример №7.

1. Нужно разложить на простые множители каждое число:

12=2×2×3

15=3×5

2. Затем найти одинаковые множители (подчеркиваем):

12=2×2×3

15=3×5

В данном случае это только множитель 3.

3. Взять одно из данных чисел и домножить на оставшиеся (не подчеркнутые) множители другого числа:

12 домножаем на 5: 12×5=60, или

15 домножаем на 2 и 2: 15×2×2=60

Таким образом, НОК =60. Обычно достаточно просто внимательно посмотреть на числа и в уме подобрать для них НОК.

Перемножение знаменателей. Приём №2.

Нам необходимо просто перемножить знаменатели. Обычно этот прием используется тогда, когда даны простые числа (которые делятся на 1 и на само себя) и на множители их не разложить.

Пример №8.

Для нахождения общего знаменателя в первом случае: 17×19=323, во втором: перемножаем 11 и 13, получаем 143.

Последовательный подбор. Приём №3.

Данный способ можно применить для небольших чисел устно: возьмем больший из знаменателей, умножим его на 2 и проверим, делится ли это число на второй знаменатель. Если нет, то умножим последовательно на 3, 4 и проверим аналогично.

Пример №9. Возьмем число 51, умножим на 2, получим 102 — видим, что 102 делится на 34, поэтому 102 и будет общий знаменатель.

После того, как мы научились находить общий знаменатель, приступаем непосредственно к алгоритму сложения (или вычитания) обыкновенных дробей с разными знаменателями.

Алгоритм сложения (вычитания)

  1. Находим общий знаменатель данных дробей.
  2. Находим дополнительный множитель к числителю каждой дроби, разделив общий знаменатель на числитель каждой дроби.
  3. Умножаем каждый числитель на дополнительный множитель.
  4. Выполняем сложение (вычитание) дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример №10.

Находим общий знаменатель. Можно использовать прием, когда умножаем 11 и 14, так как 11 — простое число. Следовательно, общий знаменатель равен 154. Находим дополнительный множитель к каждому числителю:

Выполняем умножение в числителе:

Выполняем сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

Умножение обыкновенных дробей

Как перемножить дроби?

При умножении обыкновенных дробей получают дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей.

При умножении обыкновенной дроби и целого числа необходимо целое число представить в виде дроби, числитель которой равен этому числу, а знаменатель равен 1 (что по сути означает перемножение числителя единственной первой дроби и целого числа, знаменатель же остается от первой дроби, так не меняется при умножении на единицу).

Если даны смешанные дроби, то необходимо сначала смешанную дробь перевести в неправильную, а затем выполнить умножение.

Пример №11. Здесь числитель 3 умножили на числитель 7, знаменатель 5 на знаменатель 10.

Пример №12. Случай, когда мы находим произведение дроби и целого числа. Целое число представили в виде дроби со знаменателем 1.

Пример №13. Нам даны смешанные дроби, переводим их  в неправильные для выполнения умножения.

Деление обыкновенных дробей

Как разделить одну дробь на другую?

При делении обыкновенных дробей необходимо делимое (то есть первую дробь) умножить на перевернутую вторую дробь, то есть дробь, обратную второй.

Если даны смешанные числа, то перед выполнением деления их необходимо перевести в обыкновенные неправильные дроби.

Если дробь нужно разделить на целое число, то его сначала нужно представить в виде дроби, а затем выполнить деление по правилу.

Пример №14. Делимое умножаем на число, обратное делителю.

Пример №15. Смешанные дроби сначала переводим в неправильные, а затем выполняем деление.

Пример №16. Деление дроби на целое число, где целое число 7 представлено в виде обыкновенной дроби.

Источник: https://spadilo.ru/dejstviya-s-obyknovennymi-drobyami/

Действия с дробями: правила, примеры, решения

Арифметическая дробь. Действия с обыкновенными дробями

Данная статья рассматривает действия над дробями. Будут  сформированы и обоснованы правила сложения, вычитания, умножения, деления или возведения в степень дробей вида AB, где A и B могут быть числами, числовыми выражениями или выражениями с переменными. В заключении будут рассмотрены примеры решения с подробным описанием.

Правила выполнения действий с числовыми дробями общего вида

Числовые дроби общего вида имеют числитель и знаменатель, в которых имеются натуральные числа или числовые выражения. Если рассмотреть такие дроби, как 35, 2,84, 1+2·34·(5-2), 34+782,3-0,8, 12·2, π1-23+π, 20,5ln 3, то видно, что числитель и знаменатель может иметь не только числа, но и выражения различного плана.

Определение 1

Существуют правила, по которым идет выполнение действий с обыкновенными дробями. Оно подходит и для дробей общего вида:

  • При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются только числители, а знаменатель остается прежним, а именно: ad±cd=a±cd, значения a, c и d≠0 являются некоторыми числами или числовыми выражениями.
  • При сложении или вычитании дроби при разных знаменателях, необходимо произвести приведение к общему, после чего произвести сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми показателями.  Буквенно это выглядит таком образом ab±cd=a·p±c·rs, где значения a, b≠0, c, d≠0, p≠0, r≠0, s≠0 являются действительными числами, а b·p=d·r=s. Когда p=d и r=b, тогда ab±cd=a·d±c·db·d.
  • При умножении дробей выполняется действие с числителями, после чего со знаменателями, тогда получим ab·cd=a·cb·d, где a, b≠0, c, d≠0 выступают в роли действительных чисел.
  • При делении дроби на дробь первую умножаем на вторую обратную, то есть производим замену местами числителя и знаменателя: ab:cd=ab·dc.

Обоснование правил

Определение 2

Существуют следующие математические моменты, на которые следует опираться при вычислении:

  • дробная черта означает знак деления;
  • деление на число рассматривается как умножение на его обратное значение;
  • применение свойства действий с действительными числами;
  • применение основного свойства дроби и числовых неравенств.

С их помощью можно производить преобразования вида:

ad±cd=a·d-1±c·d-1=a±c·d-1=a±cd;ab±cd=a·pb·p±c·rd·r=a·ps±c·es=a·p±c·rs;ab·cd=a·db·d·b·cb·d=a·d·a·d-1·b·c·b·d-1==a·d·b·c·b·d-1·b·d-1=a·d·b·cb·d·b·d-1==(a·c)·(b·d)-1=a·cb·d

Примеры

В предыдущем пункте было сказано про действия с дробями. Именно после этого дробь нуждается в упрощении. Подробно эта тема была рассмотрена в пункте о преобразовании дробей.

Для начала рассмотрим пример сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем.

Пример 1

Даны дроби 82,7 и 12,7, то по правилу необходимо числитель сложить, а знаменатель переписать.

Решение

Тогда получаем дробь вида 8+12,7. После выполнения сложения получаем дробь вида 8+12,7=92,7=9027=313. Значит, 82,7+12,7=8+12,7=92,7=9027=313.

Ответ: 82,7+12,7=313

Имеется другой способ решения. Для начала производится переход к виду обыкновенной дроби, после чего выполняем упрощение. Это выглядит таким образом:

82,7+12,7=8027+1027=9027=313

Пример 2

Произведем вычитание из 1-23·log23·log25+1 дроби вида 233·log23·log25+1.

Так как даны равные знаменатели, значит, что мы выполняем вычисление дроби при одинаковом знаменателе. Получим, что

1-23·log23·log25+1-233·log23·log25+1=1-2-233·log23·log25+1

Имеются примеры вычисления дробей с разными знаменателями. Важный пункт – это приведение к общему знаменателю. Без этого мы не сможем выполнять дальнейшие действия с дробями.

Процесс отдаленно напоминает приведение к общему знаменателю. То есть производится поиск наименьшего общего делителя в знаменателе, после чего добавляются недостающие множители к дробям.

Если складываемые дроби не имеют общих множителей, тогда им может стать их произведение.

Пример 3

Рассмотрим на примере сложения дробей 235+1 и 12. 

Решение

В данном случае общим знаменателем выступает произведение знаменателей. Тогда получаем, что 2·35+1. Тогда при выставлении дополнительных множителей имеем, что к первой дроби он равен 2, а ко второй 35+1. После перемножения дроби приводятся к виду 42·35+1. Общее приведение 12 будет иметь вид 35+12·35+1. Полученные дробные выражения складываем и получаем, что

235+1+12=2·22·35+1+1·35+12·35+1==42·35+1+35+12·35+1=4+35+12·35+1=5+352·35+1

Ответ: 235+1+12=5+352·35+1

Когда имеем дело с дробями общего вида, тогда о наименьшем общем знаменателе обычно дело не идет.  В качестве знаменателя нерентабельно принимать произведение числителей. Для начала необходимо проверить, имеется ли число, которое меньше по значению, чем их произведение.

Пример 4

Рассмотрим на примере 16·215 и 14·235, когда их произведение будет равно 6·215·4·235=24·245. Тогда  в качестве общего знаменателя берем 12·235.

Рассмотрим примеры умножений дробей общего вида.

Пример 5

Для этого необходимо произвести умножение 2+16 и 2·53·2+1. 

Решение

Следую правилу, необходимо переписать и в виде знаменателя написать произведение числителей. Получаем, что 2+16·2·53·2+12+1·2·56·3·2+1.  Когда дробь будет умножена, можно производить сокращения для ее упрощения. Тогда 5·332+1:1093=5·332+1·9310.

Используя правило перехода от деления к умножению на обратную дробь, получим дробь, обратную данной. Для этого числитель и знаменатель меняются местами. Рассмотрим на примере:

5·332+1:1093=5·332+1·9310

 После чего должны выполнить умножение и упростить полученную дробь. Если необходимо, то избавиться от иррациональности в знаменателе. Получаем, что

5·332+1:1093=5·33·9310·2+1=5·210·2+1=32·2+1==3·2-12·2+1·2-1=3·2-12·22-12=3·2-12

Ответ: 5·332+1:1093=3·2-12

Данный пункт применим, когда число или числовое выражение может быть представлено в виде дроби, имеющую знаменатель, равный 1, тогда и действие с такой дробью рассматривается отдельным пунктом. Например, выражение 16·74-1·3 видно, что корень из 3 может быть заменен другим 31 выражением. Тогда эта запись будет выглядеть как умножение двух дробей вида 16·74-1·3=16·74-1·31.

Выполнение действие с дробями, содержащими переменные

Правила, рассмотренные в первой статье , применимы для действий с дробями, содержащими переменные. Рассмотрим правило вычитания, когда знаменатели одинаковые.

Необходимо доказать, что A, C и D (D не равное нулю) могут быть любыми выражениями, причем равенство AD±CD=A±CD равноценно с его областью допустимых значений.

Необходимо взять набор переменных ОДЗ. Тогда  А, С, D должны принимать соответственные значения a0, c0 и d0.

 Подстановка вида AD±CD приводит разность  вида a0d0±c0d0, где по правилу сложения получаем формулу вида a0±c0d0. Если подставить выражение A±CD, тогда получаем ту же дробь вида a0±c0d0.

Отсюда делаем вывод, что выбранное значение, удовлетворяющее ОДЗ, A±CD и AD±CD считаются равными.

При любом значении переменных данные выражения будут равны, то есть их называют тождественно равными. Значит это выражение считается доказываемым равенством вида AD±CD=A±CD.

Примеры сложения и вычитания дробей с переменными

Когда имеются одинаковые знаменатели, необходимо только складывать или вычитать числители. Такая дробь может быть упрощена.

Иногда приходится работать с дробями, которые являются тождественно равными, но при первом взгляде это  незаметно, так как необходимо выполнять некоторые преобразования. Например, x23·x13+1 и x13+12 или 12·sin 2α и sin a·cos a.

Чаще всего требуется упрощение исходного выражения для того, чтобы увидеть одинаковые знаменатели.

Опиши задание

Пример 6

Вычислить:1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2), x-1x-1+xx+1.

Решение

  1. Чтобы произвести вычисление, необходимо вычесть дроби, которым имеют одинаковые знаменатели. Тогда получаем, что x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+1-5-xx+x-2.  После чего можно выполнять раскрытие скобок с приведением подобных слагаемых. Получаем, чтоx2+1-5-xx+x-2=x2+1-5+xx+x-2=x2+x-4x+x-2
  2. Так как знаменатели одинаковые, то остается только сложить числители, оставив знаменатель:​​​​​​lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg2x+4+4x·(lg x+2)
    Сложение было выполнено. Видно, что можно произвести сокращение дроби.  Ее числитель может быть свернут по формуле квадрата суммы, тогда получим (lg x+2)2из формул сокращенного умножения. Тогда получаем, что
    lg2x+4+2·lg xx·(lg x+2)=(lg x+2)2x·(lg x+2)=lg x+2x
  3.  Заданные дроби вида x-1x-1+xx+1 с разными знаменателями. После преобразования можно перейти к сложению.

Рассмотрим двоякий способ решения.

Первый способ заключается в том, что знаменатель первой дроби подвергается разложению на множители при помощи квадратов, причем с ее последующим сокращением. Получим дробь вида

x-1x-1=x-1(x-1)·x+1=1x+1

Значит, x-1x-1+xx+1=1x+1+xx+1=1+xx+1.

В таком случае необходимо избавляться от иррациональности в знаменателе.

Получим:

1+xx+1=1+x·x-1x+1·x-1=x-1+x·x-xx-1

Второй способ заключается в умножении числителя и знаменателя второй дроби на выражение x-1. Таким образом, мы избавляемся от иррациональности и переходим к сложению дроби при наличии одинакового знаменателя. Тогда

x-1x-1+xx+1=x-1x-1+x·x-1x+1·x-1==x-1x-1+x·x-xx-1=x-1+x·x-xx-1

Ответ: 1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+x-4x+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg x+2x, 3)x-1x-1+xx+1=x-1+x·x-xx-1.

В последнем примере получили, что приведение к общему знаменателю неизбежно. Для этого необходимо упрощать дроби. Для сложения или вычитая всегда необходимо искать общий знаменатель, который выглядит как произведение знаменателей  с добавлением дополниетльных множителей к числителям.

Пример 7

Вычислить значения дробей: 1) x3+1×7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·(2x-4)-sin xx5·ln(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x

Решение

  1.  Никаких сложных вычислений знаменатель не требует, поэтому нужно выбрать их произведение вида 3·x7+2·2, тогда к первой дроби x7+2·2 выбирают как дополнительный множитель, а 3 ко второй. При перемножении получаем дробь вида x3+1×7+2·2=x·x7+2·23·x7+2·2+3·13·x7+2·2==x·x7+2·2+33·x7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2
  2. Видно, что знаменатели представлены в виде произведения, что означает ненужность дополнительных преобразований. Общим знаменателем будет считаться  произведение вида x5·ln2x+1·2x-4. Отсюда x4является дополнительным множителем к первой дроби, а ln(x+1)ко второй. После чего производим вычитание и получаем, что:
    x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x+1·x4x5·ln2(x+1)·2x-4-sin x·lnx+1×5·ln2(x+1)·(2x-4)==x+1·x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4)=x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4)
  3.  Данный пример имеет смысл при работе со знаменателями дробями. Необходимо применить формулы разности квадратов и квадрат суммы, так как именно они дадут возможность перейти к выражению вида 1cos x-x·cos x+x+1(cos x+x)2.  Видно, что дроби приводятся к общему знаменателю. Получаем, что cos x-x·cos x+x2.

После чего получаем, что

1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x==1cos x-x·cos x+x+1cos x+x2==cos x+xcos x-x·cos x+x2+cos x-xcos x-x·cos x+x2==cos x+x+cos x-xcos x-x·cos x+x2=2·cos xcos x-x·cos x+x2

Ответ:

1) x3+1×7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x=2·cos xcos x-x·cos x+x2.

Примеры умножения дробей с переменными

При умножении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель. Тогда можно применять свойство сокращения.

Пример 8

Произвести умножение дробей x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и 3·x213·x+1-2sin2·x-x.

Решение

Необходимо выполнить умножение. Получаем, что

x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)==x-2·x·3·x213·x+1-2×2·ln x2·ln x+1·sin (2·x-x)

Число 3 переносится на первое место для удобства подсчетов, причем можно произвести сокращение дроби на x2, тогда получим выражение вида

3·x-2·x·x13·x+1-2ln x2·ln x+1·sin (2·x-x)

Ответ: x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)=3·x-2·x·x13·x+1-2ln x2·ln x+1·sin (2·x-x).

Деление

Деление у дробей аналогично умножению, так как первую дробь умножают на вторую обратную. Если взять к примеру дробь x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и разделить на 3·x213·x+1-2sin2·x-x, тогда это можно записать таким образом, как

x+2·xx2·ln x2·ln x+1:3·x213·x+1-2sin(2·x-x), после чего заменить произведением вида x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)

Возведение в степень

Перейдем к рассмотрению действия с дробями общего вида с возведением в степень. Если имеется степень с натуральным показателем, тогда действие рассматривают как умножение одинаковых дробей.

Но рекомендовано  использовать общий подход, базирующийся на свойствах степеней. Любые выражения А и С, где С тождественно не равняется нулю, а любое действительное r на ОДЗ для выражения вида ACr справедливо равенство ACr=ArCr.

Результат – дробь, возведенная в степень. Для примера рассмотрим:

x0,7-π·ln3x-2-5x+12,5==x0,7-π·ln3x-2-52,5x+12,5

Порядок выполнения действий с дробями

Действия над дробями выполняются по определенным правилам. На практике замечаем, что выражение может содержать несколько дробей или дробных выражений. Тогда необходимо все действия выполнять  в строгом порядке: возводить в степень, умножать, делить, после чего складывать и вычитать. При наличии скобок первое действие выполняется именно в них.

Пример 9

Вычислить 1-xcos x-1cos x·1+1x.

Решение

Так как имеем одинаковый знаменатель, то 1-xcos x и 1cos x, но производить вычитания по правилу нельзя, сначала выполняются действия в скобках, после чего умножение, а потом сложение. Тогда при вычислении получаем, что

1+1x=11+1x=xx+1x=x+1x

При подстановке выражения  в исходное получаем, что 1-xcos x-1cos x·x+1x. При умножении дробей имеем: 1cos x·x+1x=x+1cos x·x. Произведя все подстановки, получим 1-xcos x-x+1cos x·x. Теперь необходимо работать с дробями, которые имеют разные знаменатели. Получим:

x·1-xcos x·x-x+1cos x·x=x·1-x-1+xcos x·x==x-x-x-1cos x·x=-x+1cos x·x

Ответ: 1-xcos x-1cos x·1+1x=-x+1cos x·x.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/dejstvija-s-drobjami/

Алгебра. Урок 1. Числа и вычисления

Арифметическая дробь. Действия с обыкновенными дробями

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

-уроки на канале Ёжику Понятно.

страницы:

Действия с дробями

Действия со степенями

  • Возведение отрицательных чисел в степень

Примеры решений заданий из ОГЭ

Действия с дробями

Понятие обыкновенной, десятичной, смешанной дроби.

Обыкновенная дробь – дробь вида

a b

где число a – числитель дроби, число b – знаменатель.
Примеры:

1 2 ; 6 5 ; 3 1 ; 7 15 .

Обыкновенная дробь может быть правильной или неправильной, сократимой или несократимой:

Дробь называется правильной, если числитель ( a ) меньше знаменателя ( b ) .
Примеры:

5 6 ; 3 4 .

Дробь называется неправильной, если числитель ( a ) больше знаменателя ( b ) .
Примеры:

6 5 ; 3 1 .

Основное свойство обыкновенной дроби:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число (натуральные числа – числа, которые используются при счете: 1, 2, 3, …), то получится дробь, равная данной.

Дробь называется сократимой, если числитель и знаменатель имеют общие множители (числитель и знаменатель можно поделить на одно и то же число).
Примеры сократимых дробей:

12 16 = 3 ? 4 4 ? 4 = 3 4

21 14 = 3 ? 7 2 ? 7 = 3 2

Дробь называется несократимой, если числитель и знаменатель дроби не имеют общих множителей.
Примеры несократимых дробей:

2 5 ; 9 11 ; 125 126 .

Дробь называется смешанной, если у нее есть целая часть. То есть саму дробь можно представить в виде суммы целого числа и обыкновенной дроби.
Примеры смешанных дробей:

3 1 2 ; 2 7 8 ; 90 12 77 .

Смешанную дробь всегда можно перевести в неправильную обыкновенную дробь.

3 1 2 = 3 ⋅ 2 + 1 2 = 7 2

2 7 8 = 2 ⋅ 8 + 7 8 = 23 8

90 12 77 = 90 ⋅ 77 + 12 77 = 6942 77

Дробь называется десятичной, если она представлена в десятичной записи.
Примеры десятичных дробей:

56,002;   4,125;   12,3;   0,01.

Десятичную дробь всегда можно перевести в смешанную дробь или в обыкновенную дробь с числителем и знаменателем. Так поступают, когда необходимо совершить действие между обыкновенной дробью и десятичной.

Перевод в смешанные дроби:

56,002 = 56 2 1000 = 56 1 500

56,002 = 56 2 1000 = 56 1 500

Перевод в обыкновенные дроби:

12 , 3 = 12 3 10 = 12 ⋅ 10 + 3 10 = 123 10 0 , 01 = 1 100

Сложение и вычитание дробей.

Для того, чтобы складывать и вычитать смешанные дроби между собой, необходимо действовать следующим образом:

  • превратить дроби из смешанных в неправильные, если такие дроби есть, например: \[2\frac{7}{8} = \frac{{2 \cdot 8 + 7}}{8} = \frac{{23}}{8}\]
  • найти наименьший общий знаменатель у полученных дробей и домножить числители на недостающие множители;
  • произвести сложение или вычитание числителей дробей, подписав под суммой или разностью общий знаменатель.

Примеры:

(1) 2 1 6 +1 7 8 = 2⋅6+1 6 + 1⋅8+7 8 = 13 6 + 15 8 = 13⋅4 6⋅4 + 15⋅3 8⋅3 = 52+45 24 = 97 24 =4 1 24 (2) 3 7 12 −2 3 16 = 3⋅12+7 12 − 2⋅16+3 16 = 43 12 − 35 16 = 43⋅4 12⋅4 − 35⋅3 16⋅3 = 172−105 48 = 67 48 =1 19 48 (3) 2 3 14 −0,6= 2⋅14+3 14 − 6 10 = 31 14 − 3 5 = 31⋅5 14⋅5 − 3⋅14 5⋅14 = 155−42 70 = 113 70 =1 43 70

Умножение и деление дробей.

При умножении двух дробей числитель первой дроби умножается на числитель второй дроби, знаменатель первой дроби умножается на знаменатель второй:

\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{{a \cdot c}}{{b \cdot d}}\]

Чтобы умножить дробь на число, необходимо представить это число в виде дроби со знаменателем-единицей:

\[\frac{a}{b} \cdot c = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{1} = \frac{{a \cdot c}}{{b \cdot 1}} = \frac{{a \cdot c}}{b}\]

При делении двух дробей необходимо первую дробь умножить на «перевёрнутую» предыдущую, то есть у дроби-делителя поменять местами числитель и знаменатель и поставить операцию умножения вместо операции деления между этими дробями:

\[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{{a \cdot d}}{{b \cdot c}}\]

Чтобы разделить дробь на число, необходимо представить это число в виде дроби со знаменателем-единицей:

\[\frac{a}{b} \div c = \frac{a}{b} \div \frac{c}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c} = \frac{{a \cdot 1}}{{b \cdot c}} = \frac{a}{{b \cdot c}}\]

Примеры:

(1) 2 3 4 ⋅ 8 11 ÷0,5= 11 1 4 1 ⋅ 8 2 11 1 ÷ 5 1 10 2 =2÷ 1 2 =2⋅ 2 1 =4 (2) 6÷2,25⋅1,5= 6 1 ÷2 1 4 ⋅1 5 1 10 2 = 6 1 ÷ 9 4 ⋅ 3 2 = 6 3 1 ⋅ 4 9 3 ⋅ 3 1 2 1 =4

Сравнение дробей.

Для того, чтобы сравнивать две дроби между собой, нужно уметь выполнять действия с дробями (сложение, вычитание, умножение, деление). При сравнении дробей, особенно в заданиях, где требуется расположить дроби в порядке возрастания или убывания, удобно приводить обыкновенную дробь к виду десятичной.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.
Примеры:

\[\frac{4}{7} < \frac{5}{7};\;\;\;\; \frac{3}{{14}} > \frac{1}{{14}};\;\;\;\; \frac{2}{3} < \frac{{55}}{3}.\]Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше.
Примеры:

\[\frac{2}{7} < \frac{2}{5};\;\;\;\; \frac{7}{6} > \frac{7}{{11}};\;\;\;\; \frac{5}{4} > \frac{5}{5}.\]Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю.
Пример 1:

\[\frac{2}{5}?\frac{3}{7}\]

Приводим дроби к общему знаменателю:

\[\mathop {\frac{{{2{\backslash 7}}}}{5}?\frac{{{3{\backslash 5}}}}{7}}\limits_{35} \Leftrightarrow \frac{{14}}{{35}} < \frac{{15}}{{35}}\]

Приходим к выводу, что:

\[\frac{2}{5} < \frac{3}{7}\]

Пример 2:

\[\frac{5}{6}?\frac{7}{9}\]

Приводим дроби к общему знаменателю:

\[\mathop {\frac{{{5{\backslash 3}}}}{6}?\frac{{{7{\backslash 2}}}}{9}}\limits_{18} \Leftrightarrow \frac{{15}}{{18}} > \frac{{14}}{{18}}\]

Приходим к выводу, что:

\[\frac{5}{6} > \frac{7}{9}\]

Действия со степенями

$an$ — степень числа $a$ с натуральным показателем $n$.

$a$ — основание степени, $n$ — показатель.

a n = a⋅a⋅…⋅a ︸ n раз — произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.

Любое число $a$ можно представить в виде $a=a1$. То есть $2=21$, $15=151$ и так далее.

Единицу можно представить, как произвольное число в степени $0$, то есть $1=20=150\dotsc$

Единицу можно возводить в любую степень, то есть $1=1n=10=11=18=1{146}\dotsc$

Ноль в любой натуральной степени есть ноль, то есть: $0 = {0n} = {01} = {0{15}} = {0{179}}\dotsc$ где $n e 0$.

Запись 0 0 в математике не имеет смысла.

Свойства степеней с натуральным показателем:

(1) a m ⋅ a n = a m+n

Пример:

$${a2} \cdot {a5} = {a7}$$ (2) a m a n = a m−n

Пример:

$$\frac{{{a4}}}{{{a3}}} = {a{4 – 3}} = {a1} = a$$ (3) (a⋅b) n = a n ⋅ b n

Пример:

$${(a \cdot b)3} = {a3} \cdot {b3}$$ (4) ( a b ) n = a n b n

Пример:

$${\left( {\frac{a}{b}} \right)8} = \frac{{{a8}}}{{{b8}}}$$ (5) ( a m ) n = a m⋅n

Пример:

$${({a2})5} = {a{2 \cdot 5}} = {a{10}}$$ (6) a −n = 1 a n

Примеры:

$${a{ – 2}} = \frac{1}{{{a2}}};\;\;\;\;{a{ – 1}} = \frac{1}{{{a1}}} = \frac{1}{a}.$$

Возведение отрицательных чисел в степень

Отрицательное число, возведенное в нечётную степень есть число отрицательное
Примеры:

\[{( – 2)3} = – ({23}) = – 8;\] \[{( – 1)5} = – ({15}) = – 1;\] \[{( – 6)1} = – 6;\] \[{( – 10)3} = – ({103}) = – 1000.\]

Отрицательное число, возведенное в чётную степень есть число положительное
Примеры:

\[{( – 2)4} = {24} = 16;\] \[{( – 1){10}} = {1{10}} = 1;\] \[{( – 10)6} = {106} = 1000000.\]

Задание №6 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Скачать домашнее задание к уроку 1.

Источник: https://epmat.ru/modul-algebra/urok-1-chisla-i-vychisleniya/

Конспект по математике

Арифметическая дробь. Действия с обыкновенными дробями

Ключевые слова конспекта: дроби, обыкновенная дробь, правильные и неправильные дроби, основное свойство дроби, сравнение дробей, арифметические действия с дробями, нахождение части от целого и целого по его части.

Одна или несколько равных частей единицы называются обыкновенной дробью. Дробь 3/4 означает, что единицу разделили на 4 части и взяли 3 таких части.

Дробь можно рассматривать и как результат деления натуральных чисел. Частное от деления натуральных чисел а и b можно записать в виде дроби a/b —  где делимое а — числитель, а делитель b — знаменатель.

Правильная и неправильная дробь

Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной, а дробь, где числитель больше или равен знаменателю, — неправильной.

Число, состоящее из целой и дробной частей, можно обратить в неправильную дробь. Для этого нужно умножить целую часть на знаменатель и к произведению прибавить числитель данной дроби. Полученная сумма будет числителем дроби, а знаменателем остается знаменатель дробной части.

Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть. Для этого нужно разделить с остатком числитель на знаменатель. Частное от деления — это целая часть, остаток — это числитель, делитель — это знаменатель.

Определение. Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной

Основное свойство дроби используют при сокращении дробей. Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дробей.

Сравнение дробей

  1. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
  2. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:

  • привести дроби к наименьшему общему знаменателю;
  • сравнить полученные дроби.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:

  1. найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей (оно и будет их общим знаменателем);
  2. разделить общий знаменатель на знаменатель данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;
  3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Сложение и вычитание дробей

При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель. Полученную дробь, если возможно, сокращают и выделяют целую часть.

При сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями нужно предварительно привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю, затем  сложить (вычесть) полученные дроби, используя правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.

Особенно надо быть внимательным при сложении (вычитании) с участием смешанных чисел!

Общий случай сложения (вычитания) дробей.

 Умножение дробей

  1. Произведение двух дробей a/b и c/d равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:
  2. При умножении чисел, состоящих из целой и дробной частей, их предварительно представляют в виде неправильных дробей, а затем умножают согласно п. 1.

 Деление дробей

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1, то есть дроби вида a/b и b/a являются взаимно обратными. Например 1/3 и 3. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное к делителю.

При делении чисел, состоящих из целой и дробной части, нужно предварительно представить их в виде неправильной дроби.

Нахождение части от целого (дроби от числа)

Чтобы найти часть от целого, нужно число, соответствующее целому, разделить на знаменатель дроби, выражающей эту часть, и результат умножить на числитель той же дроби.

Задача нахождения части от целого по существу является задачей нахождения дроби от числа. Чтобы найти дробь (часть) от числа, необходимо число умножить на эту дробь.

Нахождение целого по его части (числа по его дроби)

Чтобы найти целое по его части, нужно число, соответствующее этой части, разделить на числитель дроби, выражающей эту часть, и результат умножить на знаменатель той же дроби.

Задача нахождения целого по его части по существу является задачей нахождения числа по его дроби. Чтобы найти число по его дроби, необходимо данное значение разделить на эту дробь.

Это конспект по теме «Обыкновенная дробь». Выберите дальнейшие действия:

Источник: https://uchitel.pro/%D0%BE%D0%B1%D1%8B%D0%BA%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F-%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B1%D1%8C/

Вопросы адвокату
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: